Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Дискретное преобразование Лапласа. Z – преобразование





 

Для исследования дискретных систем автоматического управления используется дискретное преобразование Лапласа, которое определяется формулой

, (1)

где , - комплексная переменная.

Дискретное преобразование Лапласа устанавливает связь между дискретной функцией действительного переменного и функцией комплексного переменного .

Для смещённой дискретной функции дискретное преобразование определяется следующим образом

. (2)

В задачах исследования цифровых систем автоматического управления используют не дискретное преобразование Лапласа, определяемого формулами (1) и (2), а так называемое -преобразование, которое определяется формулами, аналогичными (1) и (2), но в которых введена новая переменная . Тогда вместо равенств (1) и (2) получаем

(3)

и

. (4)

Если известно изображение некоторой дискретной функции , то соответствующее изображение может быть найдено с помощью замены комплексной переменной по формуле .

Таким образом, принципиальной разницы между дискретным преобразованием Лапласа и - преобразованием не существует. Все свойства - преобразования могут быть получены из соответствующих свойств дискретного преобразования Лапласа.

Здесь следует отметить, что ряд (1) сходится абсолютно в каждой точке полуплоскости и расходится в полуплоскости , где

.

Величина называется абсциссой абсолютной сходимости дискретного преобразования Лапласа. Таким образом, область сходимости дискретного преобразования Лапласа это полуплоскость, расположенная справа от прямой

По аналогии с непрерывным преобразованием Лапласа функцию , которая равно нулю при и удовлетворяет при условию

(5)

будем называть оригиналом. В равенстве (5) и – некоторые постоянные величины. Величина называется показателем роста дискретной функции .

Функция – называется изображением дискретной функции . Непосредственно из определения дискретного преобразования Лапласа (формула (1)) следует, что функция является периодической вдоль мнимой оси плоскости с периодом . Действительно

,

где – любое целое число. Поэтому все свойства функции рассматриваются в любой полосе шириной : .

Наиболее удобной для этой цели является полоса , симметричная относительно действительной оси. Эта полоса называется основной полосой.

Дискретное преобразование Лапласа определяет аналитическую функцию в основной полосе за исключением конечного числа особых точек. (Далее это, как правило, полюсы функции ).

Если все особые точки функции определены в основной полосе

, ,

то все остальные полюсы (особые точки) определяются с помощью равенства

, , .

Рассмотрим, как связаны между собой области определения дискретного преобразования Лапласа в плоскости комплексной переменной и - преобразования в плоскости комплексной переменной .

Преобразование комплексной переменной по формуле переводит основную полосу на всю расширенную плоскость комплексной переменной . При этом отрезок мнимой оси отображается в окружность единичного радиуса , . Левая полоса комплексной плоскости отображается во внутренность единичного круга плоскости , а правая полоса - во внешность этого круга.

Функция , определяемая по формуле (3), является аналитической в области , т.е. во внешности круга , ,

а после построения аналитического продолжения – во всей расширенной плоскости переменной , за исключением конечного числа особых точек.

Особые точки

,

изображения при отображении с помощью функции перейдут в точки

, ,

лежащие внутри круга

; .

Обратное дискретное преобразование Лапласа определяет дискретную функцию по заданному изображению

, , (7)

где – абсцисса абсолютной сходимости.

Для смещенной дискретной функции

. (8)

Вычисление оригиналов можно производить и по формуле обратного -преобразования, которая может быть получена из формулы (7) путем замены переменной

, (9)

где интегрирование производится по окружности радиуса , контур обходится в положительном направлении.

Для смещенных функций имеем

. (10)

Принимая во внимание, что функция является аналитической вне окружности и на самой окружности, можно применить теорему о вычетах, согласно которой

, (11)

где – полюс функции , лежащий внутри окружности . Вычет в простом полюсе

, (12)

Вычет в полюсе кратности

. (13)

 

 







Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 2132. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Правила наложения мягкой бинтовой повязки 1. Во время наложения повязки больному (раненому) следует придать удобное положение: он должен удобно сидеть или лежать...

ТЕХНИКА ПОСЕВА, МЕТОДЫ ВЫДЕЛЕНИЯ ЧИСТЫХ КУЛЬТУР И КУЛЬТУРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА МИКРООРГАНИЗМОВ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА БАКТЕРИЙ Цель занятия. Освоить технику посева микроорганизмов на плотные и жидкие питательные среды и методы выделения чис­тых бактериальных культур. Ознакомить студентов с основными культуральными характеристиками микроорганизмов и методами определения...

САНИТАРНО-МИКРОБИОЛОГИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВОДЫ, ВОЗДУХА И ПОЧВЫ Цель занятия.Ознакомить студентов с основными методами и показателями...

Эффективность управления. Общие понятия о сущности и критериях эффективности. Эффективность управления – это экономическая категория, отражающая вклад управленческой деятельности в конечный результат работы организации...

Мотивационная сфера личности, ее структура. Потребности и мотивы. Потребности и мотивы, их роль в организации деятельности...

Классификация ИС по признаку структурированности задач Так как основное назначение ИС – автоматизировать информационные процессы для решения определенных задач, то одна из основных классификаций – это классификация ИС по степени структурированности задач...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия