Для исследования дискретных систем автоматического управления используется дискретное преобразование Лапласа, которое определяется формулой
, (1)
где
,
- комплексная переменная.
Дискретное преобразование Лапласа устанавливает связь между дискретной функцией действительного переменного
и функцией комплексного переменного
.
Для смещённой дискретной функции
дискретное преобразование определяется следующим образом
. (2)
В задачах исследования цифровых систем автоматического управления используют не дискретное преобразование Лапласа, определяемого формулами (1) и (2), а так называемое
-преобразование, которое определяется формулами, аналогичными (1) и (2), но в которых введена новая переменная
. Тогда вместо равенств (1) и (2) получаем
(3)
и
. (4)
Если известно изображение
некоторой дискретной функции
, то соответствующее изображение
может быть найдено с помощью замены комплексной переменной
по формуле
.
Таким образом, принципиальной разницы между дискретным преобразованием Лапласа и
- преобразованием не существует. Все свойства
- преобразования могут быть получены из соответствующих свойств дискретного преобразования Лапласа.
Здесь следует отметить, что ряд (1) сходится абсолютно в каждой точке полуплоскости
и расходится в полуплоскости
, где
.
Величина
называется абсциссой абсолютной сходимости дискретного преобразования Лапласа. Таким образом, область сходимости дискретного преобразования Лапласа это полуплоскость, расположенная справа от прямой 
По аналогии с непрерывным преобразованием Лапласа функцию
, которая равно нулю при
и удовлетворяет при
условию
(5)
будем называть оригиналом. В равенстве (5)
и
– некоторые постоянные величины. Величина
называется показателем роста дискретной функции
.
Функция
– называется изображением дискретной функции
. Непосредственно из определения дискретного преобразования Лапласа (формула (1)) следует, что функция
является периодической вдоль мнимой оси плоскости
с периодом
. Действительно
,
где
– любое целое число. Поэтому все свойства функции
рассматриваются в любой полосе шириной
:
.
Наиболее удобной для этой цели является полоса
, симметричная относительно действительной оси. Эта полоса называется основной полосой.

Дискретное преобразование Лапласа определяет аналитическую функцию
в основной полосе за исключением конечного числа особых точек. (Далее это, как правило, полюсы функции
).
Если все особые точки функции
определены в основной полосе
,
,
то все остальные полюсы (особые точки) определяются с помощью равенства
,
,
.
Рассмотрим, как связаны между собой области определения дискретного преобразования Лапласа в плоскости комплексной переменной
и
- преобразования в плоскости комплексной переменной
.
Преобразование комплексной переменной
по формуле
переводит основную полосу
на всю расширенную плоскость комплексной переменной
. При этом отрезок мнимой оси
отображается в окружность единичного радиуса
,
. Левая полоса
комплексной плоскости
отображается во внутренность единичного круга
плоскости
, а правая полоса
- во внешность этого круга.
Функция
, определяемая по формуле (3), является аналитической в области
, т.е. во внешности круга
,
,
а после построения аналитического продолжения – во всей расширенной плоскости переменной
, за исключением конечного числа особых точек.

Особые точки
, 
изображения
при отображении с помощью функции
перейдут в точки
,
,
лежащие внутри круга
;
.
Обратное дискретное преобразование Лапласа определяет дискретную функцию
по заданному изображению 
,
, (7)
где
– абсцисса абсолютной сходимости.
Для смещенной дискретной функции
. (8)
Вычисление оригиналов
можно производить и по формуле обратного
-преобразования, которая может быть получена из формулы (7) путем замены переменной 
, (9)
где интегрирование производится по окружности
радиуса
, контур
обходится в положительном направлении.
Для смещенных функций имеем
. (10)
Принимая во внимание, что функция
является аналитической вне окружности
и на самой окружности, можно применить теорему о вычетах, согласно которой
, (11)
где
– полюс функции
, лежащий внутри окружности
. Вычет в простом полюсе
, (12)
Вычет в полюсе кратности 
. (13)