Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Свободной называют точку, на которую не наложены связи. В противном случае точка является несвободной и тогда, согласно принципу освобождаемости от связей к точке прикладывают реакции отброшенных связей, кроме активных сил.

Если на свободную точку действует система активных сил, равнодействующая которой , то согласно 2-му закону Ньютона следует, что

. (1.1)

Полученное выражение называют основным уравнением динамикисвободной материальной точки в векторной форме.

Если движение точки задано в векторной форме , то, как известно из раздела кинематики,

(1.2)

и формулу (1.1) можно записать следующим образом

. (1.3)

Нужно отметить, что в общем случае сила может быть функцией времени, положения и скорости точки

. (1.4)

Равенство (1.3) представляет собой векторное дифференциальное уравнение движения свободной материальной точки. В проекциях на оси инерциальной декартовой системы координат оно примет вид:

. (1.5)

При движении точки в плоскости xOy, так как , систему уравнений можно записать так:

. (1.6)

Если точка движется прямолинейно вдоль какой-либо оси, например Ox, так как , получим

. (1.7)

В проекциях на оси (касательную, нормаль и бинормаль к траектории точки) естественной системы координат равенство (1.3) запишем следующим образом

. (1.8)

Из кинематики известно, что

. (1.9)

Поэтому рассматриваемые выражения примут вид:

, (1.10)

где – уравнение движения точки по соответствующей траектории; ρ – радиус кривизны траектории; – проекции равнодействующей сил, приложенных к точке на оси естественной системы координат.

Если точка несвободна то на нее, кроме равнодействующей активных сил , будет действовать равнодействующая реакций связей . Тогда уравнение (1.1) запишем так:

. (1.11)

Полученное выражение называют основным уравнением динамикинесвободной материальной точки в векторной форме. Оно принимает такой вид:

– в проекциях на оси декартовой системы координат

; (1.12)

– в проекциях на оси естественной системы координат

(1.13)

или

. (1.14)