Масса системы. Центр масс. Теорема о движении центра масс

Движение системы, кроме действующих сил, зависит также от ее суммарной массы и распределения масс. Масса системы (обозначаем М или т) равна арифметической сумме масс всех точек, или тел, образующих систему:

М=Sm_k.

Распределение масс в системе определяется значениями масс m_k ее точек и их координатами x_k, y_k, z_k. Однако оказывается, что при решении тех задач динамики, которые мы будем рассматривать, в частности динамики твердого тела, для учета распределения масс достаточно знать не все величины m_k, x_k, y_k, z_k. а некоторые, выражаемые через них суммарные характеристики. Ими являются: координаты центра масс, осевые моменты инерции и центробежные моменты инерции

В однородном поле тяжести, для которого g =const, вес любой частицы тела пропорционален ее массе. Поэтому о распределении масс в теле можно судить по положению его центра тяжести. Преобразуем формулы, определяющие координаты центра тяжести тела, к виду, явно содержащему массу. Для этого положим в названных формулах p_k = m_kg и P=Mg, после чего, сократив на g, найдем:

; ; .

Геометрическая точка С, координаты которой определяются выше приведенными формулами, называется центром масс или центром инерции механической системы.

Теорему о движении центра масс системы математически можно записать следующим образом:

.

Существует две формулировки данной теоремы: произведение массы системы, на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил или же центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.