Неопределенный интеграл. где F(x) – некоторая первообразная для f(x), C – произвольная

 

ò f(x)dx = F(x) + C,

где F(x) – некоторая первообразная для f (x), C – произвольная

постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

.

d (ò f(x)dx) = f(x)dx.

ò dF(x) = F(x)+ C.

ò kf(x)dx = k ò f(x)dx.

ò (f(x)±g(x))dx = ò f(x)dx ± ò g(x)dx.

ò f(kx+b)dx = F(kx+b) + C.

 

Таблица простейших интегралов

1. –1.

2. .

3. . Частный случай: .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

Частный случай: .

9. .

Частный случай .

10. .

11. .

 

4.1. Найти интегралы:

1) 2)

3) ; 4) ;

5) ; 6)

7) ; 8) ; 9) ; 10) ;

11) ; 12) ; 13) ; 14) .

4.2. Найти интегралы:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ; 18) .

 

Метод замены переменной

,

где – дифференцируемая функция.

 

4.3. Найти интегралы:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ; 18) .

4.4. Найти интегралы от рациональных функций:

1) ; 2) ; 3) d x;

4) d x; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) d x;

10) ; 11) d x; 12) .

4.5. Найти интегралы от иррациональных функций:

1) ; 2) ; 3)

4) ; 5) 6)

4.6. Найти интегралы от тригонометрических функций:

1) ; 2) ; 3) ;

4) 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) . 11)

4.7. Найти интегралы, применяя интегрирование по частям:

1) ; 2) ; 3)

4) d x; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) . 15) .

4.8. Найти интегралы:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) d x; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) .

Определенный интеграл

Основные свойства определенного интеграла

 

1. . 2. .

3. .

4. .

5. .