Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов

1.33. Даны векторы , . Вычислить:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) угол между векторами и .

№
	(4, –2, –4, 8)	(1, 4, –2, 2)	(1, 1, 1, 1, 1)	(0, 1, 1, 1, 1)
	(5, –1, 3, –1)	(3, 1, 1, 5)	(–1, –1, 0, 1, 1)	(5, 1, –1, 1, –1)

 

1.34. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, производственно-экономические показатели которых приведены в табл,.1.1. Требуется определить следующие ежесуточные показатели:

1) расход сырья (S);

2) затраты рабочего времени (Т);

3) стоимость выпускаемой продукции (Р).

Таблица 1.1

Вид изделий	Количество изделий, ед.	Расход сырья, кг.	Норма времени изготовления, ч / изд.	Цена изделия, ден. ед.

1.35. Предприятие выпускает четыре вида изделий с использованием четырех видов сырья. Нормы расхода сырья заданы матрицей А = (a_ij), где а_ij – норма расхода j-го вида сырья на одно изделие i-го вида. Требуется найти затраты сырья на каждый вид изделий при заданном плане выпуска соответственно 60, 50, 35 и 40 единиц.

1) 2 3 4 5 2) 1 0 1 2

1 2 5 6 2 1 1 0

А = 7 2 3 2; А = 1 3 0 0.

4 5 6 8 5 0 1 1

 

1.36. Найти площадь треугольника с вершинами:

1) А (2; 2; 2), В (1; 3; 3), С (3; 4; 2);

2) А (–3; –2; –4), В (–1; –4; –7), С (1; –2; 2).

 

1.37. Дано | | = 3, | | = 8. Найти векторное произведение , если угол g между векторами равен:

1)0; 2) 30°; 3) 90°; 4) 120°; 5) 150°.

 

1.38. Найти и построить вектор = , если:

1) = 2 , = 3 ; 2) = , = ;

3) = , = .Определить в каждом случае площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

 

1.39. Найти вектор , перпендикулярный векторам и , синус угла между векторами и , если:

1) = (1, –5, – 3), = (–2, 4, 3);

2) = (3, –2, 6), = (6, 3, –2);

3) = (3, 0, –4), = (1, –2, 2).

 

1.40. Установить, компланарны ли векторы:

1) = (1, 1, 3), = (0, 2, –1), = (1, –1, 4);

2) = (1, 2, 2), = (2, 5, 7), = (1, 1, –1);

3) = (1, –1, 2), = (3, 5, 0), = (5, 3, 4);

4) = (1, 1, –1), = (1, –1, 1), = (1, 1, 1).

 

1.41. Найти смешанное произведение , и , если:

1) = (1, 1, 2), = (1, –2, 3), = (2, 1, 1);

2) = (5, –2, –1), = (1, –2, 1), = (1, 2, –2);

3) = (1, 1, 4), = (2, –1, –1), = (1, 3, –1).

 

1.42. Найти объем тетраэдра с вершинами в точках:

1) А (–1; 1; 0), В (2; –2; 1), С (3; 1; –1), D (1; 0; –2);

2) А (–4; –4; –3), В (–2; –1; 1), С (2; –2; –1), D (1; 3; –2).

 

1.43. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах = (3, 2, 1), = (1, 0, –1), = (1, –2, 1).

 

Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения

 

1.44. Линейный оператор в базисе задан матрицей А. Найти образ где:

1) = 4 –3 , А = ; 2) =2 +4 – , А =

1.45. Проверить непосредственным вычислением, какие из данных ниже векторов являются собственными векторами матрицы А, и указать соответствующие собственные значения:

А = . = = = = =

1.46. Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных матрицами:

1)А= 2)А= 3)А= 4)А= .

1.47. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид:

А = .

Найти бюджет первой и второй стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что бюджет третьей страны равен 1100 усл.ед.

1.48. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид:

 

A= .

 

Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что сумма бюджетов = 6270 усл.ед.

 

1.49.Отрасль состоит из 4-х предприятий; вектор выпуска продукции и матрица внутреннего потребления имеют вид:

 

Х = А =

 

Пользуясь моделью Леонтьева, найти вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли.

 

1.50. Данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый промежуток времени даны в табл.1.2. Требуется найти объем валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление увеличить соответственно:

1)до 60, 70 и 30 единиц;

2) на 30, 10 и 50%.

Решить задачу методом обратной матрицы и методом Гаусса.

Таблица 1.2.

№ п/п	Отрасль	Потребление отрасли	Конечный продукт	Валовый выпуск
	Добыча и переработка углеводородов
	Энергетика
	Машиностроение