Решение типовых задач. Задача 1. На предприятии в порядке случайной выборки было опрошено 100 рабочих из 1000 и получены следующие данные об их доходе за октябрь:

Задача 1. На предприятии в порядке случайной выборки было опрошено 100 рабочих из 1000 и получены следующие данные об их доходе за октябрь:

 

Месячный доход, грн.	120-200	200-280	280-360	360-440
Число рабочих

 

Определить: 1) среднемесячный размер дохода у работников данного предприятия, гарантируя результат с вероятностью 0, 997; 2) долю рабочих предприятия, имеющих месячный доход 280 грн. и выше, гарантируя результат с вероятностью 0, 954; 3) необходимую численность выборки при определении среднего месячного дохода работников предприятия, чтобы с вероятностью 0, 954 предельная ошибка выборки не превышала 10 грн.; 4) необходимую численность выборки при определении доли рабочих с размером месячного дохода 280 грн. и выше, чтобы с вероятностью 0, 954 предельная ошибка не превышала 4%.

 

Решение

 

1). Доверительный интервал среднего размера месячного дохода работников предприятия: – + .

Средний месячный доход по выборке составит:

 

; грн.

 

Предельная ошибка выборки:

При вероятности .

Определим дисперсию дохода:

 

 

грн.

 

;

Таким образом, с вероятностью 0, 997 можно утверждать, что месячный доход работников предприятия больше 241, 82 грн. и меньше 276, 58 грн.

 

2). w – доля рабочих, имеющих размер месячного дохода 280 и выше:

w .

Предельная ошибка доли

При вероятности .

Доверительные интервалы для генеральной доли:

Доля рабочих предприятия, имеющих доход 280 грн. и выше, находится в пределах от 19, 5 % до 36, 5 %.

 

3. Необходимая численность выборки для определения среднего месячного дохода определяется по формуле

 

.

По условию задачи известны:

при вероятности ;

грн.; (по данным предыдущей выборки).

 

чел.

 

4. Необходимая численность выборки для определения доли рабочих, имеющих доход 280 грн. и выше, определяется по формуле

 

По условию задачи известны:

или 0, 02; при вероятности Р = 0, 954 t = 2; w = 0, 28 (по данным предыдущей выборки).

чел.

Задача 2. Для определения урожайности зерновых культур проведено выборочное обследование 100 хозяйств региона различных форм собственности, в результате которого получены сводные данные. Необходимо с вероятностью 0, 954 определить предельную ошибку выборочной средней и доверительные пределы средней урожайности зерновых культур по всем хозяйствам региона.

 

Распределение урожайности по хозяйствам региона, имеющим различную форму собственности

 

Хозяйства (по формам собственности)	Количество обследованных хозяйств	Средняя урожайность, ц/га	Дисперсия урожайности в каждой группе
Коллективные
Акционерные общества
Крестьянские (фермерские)
Итого		-	-

 

Решение

Поскольку обследованные хозяйства региона сгруппированы по формам собственности, предельную ошибку средней урожайности определяем по формуле для типической выборки, осуществляемой методом повторного отбора (численность генеральной совокупности N неизвестна):

В этой формуле неизвестна средняя из внутригрупповых дисперсий.

Она исчисляется по формуле:

Для заданной в условии вероятности . Тогда предельная ошибка выборки составит, ц/га:

Генеральная средняя: Для нахождения ее границ вначале нужно исчислить среднюю урожайность по выборочной совокупности:

ц/га.

Предельная относительная ошибка выборки, %:

Доверительные пределы генеральной средней исчисляем, исходя из двойного неравенства:

– + ;

;

.

Задача 3. По городской телефонной сети в порядке случайной выборки (механический отбор) произвели 100 наблюдений и установили среднюю продолжительность одного телефонного разговора 5 мин. при среднем квадратическом отклонении 2 мин.

Какова вероятность того, что ошибка репрезентативности при определении средней продолжительности телефонного разговора не превысит 18 сек.?

 

Решение

 

По условию задачи известны:

объем выборки – n =100

выборочная средняя - =5 мин.;

выборочное среднее квадратическое отклонение – = 2 мин.;

предельная ошибка выборки - = 18 сек. =0, 3 мин.

 

= t · µ ; µ = = =0, 2 мин.;

 

t = = =1, 5.

 

Затем по таблице на основе значения t определяется вероятность того, что ошибка не превысит заданной величины.

При t = 1, 5 вероятность P = 0, 866.

 

Задача 4. На основе выборочного обследования в отделении связи города предполагается определить долю писем частных лиц в общем объеме отправляемой корреспонденции. Никаких предварительных данных об удельном весе этих писем в общей массе отправляемой корреспонденции не имеется.

Требуется определить численность выборки, если результаты выборки даны с точностью до 1% и гарантируют это с вероятностью 0, 95.

 

Решение

По условию задачи известны:

размер допустимой (предельной) ошибки - = 1% или 0, 01;

принятая вероятность – P = 0, 95;

при P = 0, 95 t = 1, 96 (см. приложение 3)

Необходимая численность выборки:

n =

Так как значение w не дано, то следует ориентироваться на наибольшую дисперсию, которой соответствует значение w = 0, 5.

n = =9604

Таким образом, чтобы с заданной точностью определить долю частных писем в общем объеме отправляемой корреспонденции, необходимо в порядке случайной выборки отобрать 9604 письма.