Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению

Если задана функция , то ее можно принять как скалярное поле, зависящее от координат точек либо просто скалярная функция скалярных аргументов. Скорость изменения этой функции по направлению некоторого вектора определяется по формуле (производная по направлению):

 

где - направляющие косинусы вектора .

Пример 173 Найти производную функции в точке по направлению вектора , если .

 

Решение , ,

 

,

 

 

.

 

Пример 174 Вычислить производную функции в точке по направлению вектора .

Решение

 

 

.

Градиентом функции (поля) называется вектор

 

.

Пример 175 Найти в точке М₀(1; 1; 1), если .

Решение

 

, или

 

.

Дифференциальные уравнения

 

Уравнения первого порядка

Таблица 1

Название	Тип	Метод распознавания
C разделяющимися переменными		Переменные разделяются алгебраическим путем
Однородное уравнение		однородные функции одной степени.
Линейное уравнение 1-го порядка	или	По виду
Уравнение Бернулли		По виду
В полных дифференциалах

 

Пример 176 Определить тип уравнений

 

а) − однородное, так как

 

 

является функцией от отношения переменных;

 

б) − линейное уравнение 1-го порядка;

 

в) − с разделяющимися переменными, так как

 

;

 

г) - уравнение Бернулли. Запишем по другому это уравнение ;

 

д) - в полных дифференциалах, так как

 

.

 

Пример 177 Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения .

 

, ,

 

, .

 

Пример 178 Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение .

Пример179 Найти общий интеграл дифференциального уравнения .