Пределы применимости формулы Эйлера

Формулой Эйлера не всегда можно пользоваться. При ее выводе мы пользовались дифференциальным уравнением упругой линии, вывод которого основан на законе Гука. Закон же Гука, как известно, справедлив до тех пор, пока напряжения не превосходят предела пропорциональности. Чтобы установить пределы применимости формулы Эйлера, определим критическое напряжение , т. е. напряжение, возникающее в поперечном сечении стержня при действии критической нагрузки:

(9.8)

 

где А - площадь поперечного сечения стержня.

Но - наименьший радиус инерции поперечного сечения стержня. Поэтому формулу (9.8) можно записать в виде

 

 

Величина характеризует влияние размеров стержня и способа закрепления концов; она называется гибкостью стержня и обозначается λ. Гибкость - величина безразмерная.

Таким образом, обозначая получаем

 

 

Чтобы можно было пользоваться формулой Эйлера, необходимо удовлетворить следующему условию:

 

(9.9)

где - предел пропорциональности материала стержня.

Записывая формулу (9.9) относительно гибкости, получаем условие применимости формулы Эйлера в виде

 

(9.10)

 

Например, для стали Ст.З =200 МПа и

 

 

Таким образом, для стержней из малоуглеродистой стали формула Эйлера применима, если их гибкость больше 100.

Аналогичным образом получим условия применимости формулы Эйлера для чугуна λ ³ 80. Для средне и высокоуглеродистых, а также для легированных сталей формула Эйлера применима и при гибкости, меньшей указанной. Так для стержней из хромомолибденовой стали формула Эйлера применима при λ ³ 70.