РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СОСУДОВ

 

В технике часто встречаются сосуды, стенки которых воспринимают давление жидкостей, газов и сыпучих тел (паровые котлы, резервуары, рабочие камеры двигателей, цистерны и т. п.). Если сосуды имеют форму тел вращения и толщина стенок их незначительна, а нагрузка осесимметрична, то определение напряжений, возникающих в их стенках под нагрузкой, производится весьма просто.

В таких случаях без большой погрешности можно принять, что в стенках возникают только нормальные напряжения (растягивающие или сжимающие) и что эти напряжения распределяются равномерно по толщине стенки.

Расчеты, основанные на таких допущениях, хорошо подтверждаются опытами, если толщина стенки не превосходит примерно минимального радиуса кривизны стенки.

Вырежем из стенки сосуда элемент с размерами и .

Толщину стенки обозначим t (рис. 8.1). Радиусы кривизны поверхности сосуда в данном месте и Нагрузка на элемент - внутреннее давление , нормальное к поверхности элемента.

 

 

Рис. 8.1.

 

Заменим взаимодействие элемента с оставшейся частью сосуда внутренними силами, интенсивность которых равна и _. Поскольку толщина стенок незначительна, как уже было отмечено, можно считать эти напряжения равномерно распределенными по толщине стенки.

Составим условие равновесия элемента, для чего спроецируем силы, действующие на элемент, на направление нормали пп к поверхности элемента. Проекция нагрузки равна . Проекция напряжения на направление нормали представится отрезком аb, равным Проекция усилия, действующего на грани 1-4 (и 2-3), равна . Аналогично, проекция усилия, действующего по грани 1-2 (и 4-3), равна .

Спроецировав все силы, приложенные к выделенному элементу, на направление нормали пп, получим

 

 

Ввиду малости размеров элемента можно принять

 

 

С учетом этого из уравнения равновесия получим

 

 

Учитывая, что d и имеем

 

 

Сократив на и разделив на t, получим

(8.1)

 

Эта формула называется формулой Лапласа. Рассмотрим расчет двух видов сосудов, часто встречающихся на практике: сферического и цилиндрического. При этом ограничимся случаями действия внутреннего газового давления.

а) б)

 

 

Рис. 8.2.

1. Сферический сосуд. В этом случае и Из (8.1) следует откуда

(8.2)

 

Так как в данном случае имеет место плоское напряженное состояние, то для расчета на прочность необходимо применить ту или иную теорию прочности. Главные напряжения имеют следующие значения: По третьей гипотезе прочности; . Подставляя и , получаем

 

(8.3)

 

т. е. проверка прочности ведется, как в случае одноосного напряженного состояния.

По четвертой гипотезе прочности, . Так как в данном случае , то

(8.4)

 

т. е. то же условие, что и по третьей гипотезе прочности.

2. Цилиндрический сосуд. В этом случае (радиус цилиндра) и (радиус кривизны образующей цилиндра).

Из уравнения Лапласа получаем откуда

(8.5)

 

Для определения напряжения рассечем сосуд плоскостью, перпендикулярной его оси, и рассмотрим условие равновесия одной из частей сосуда (рис. 47 б).

Проецируя на ось сосуда все силы, действующие на отсеченную часть, получаем

(8.6)

 

где - равнодействующая сил давления газа на днище сосуда.

Таким образом, , откуда

 

(8.7)

 

Заметим, что в силу тонкостенности кольца, представляющего собой сечение цилиндра, по которому действуют напряжения , площадь его подсчитана как произведение длины окружности на толщину стенки. Сравнивая и в цилиндрическом сосуде, видим, что

 

 

Условие прочности по третьей гипотезе прочности для цилиндрического сосуда

(8.8)

 

Условие прочности, по четвертой гипотезе прочности,

(8.9)

 

Пример. Определить толщину стенок цилиндрического резервуара для хранения жидкости с удельным весом g = 10 кН/м³; размеры резервуара показаны на рис. 8.3. Допускаемое напряжение для материала стенок = 100 МПа = 100^.10³ кПа.

 

 

Рис. 8.3

 

Решение. Давление жидкости на стенки сосуда пропорционально расстоянию от свободной поверхности:

 

 

Если толщина стенки постоянна, то расчет ведется по наибольшему давлению у основания:

 

 

Толщина стенки: