Вычисление вероятностей

Пример 1.7. В ящике 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 4 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей две будут окрашены.

Решение: Пусть событие А – среди извлеченных 4 деталей 2 окрашены

– общее число четверок, которые можно сформировать из 15 деталей

– число четверок, благоприятствующих событию А.

По формуле

Пример 1.8. В группе 25 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобрано 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов - 5 отличников.

Решение:

Пусть событие А – среди 9 отобранных студентов 5 отличников.

– общее число «девяток», которые можно отобрать из 25 студентов;

– число «девяток», благоприятствующих событию А.

По формуле:

 

.

 

Задания для самостоятельной работы:

1. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает 3 вопроса, предложенных ему экзаменатором:

2. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что 2 наудачу выбранных билета окажутся выигрышными:

3. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное число очков:

4. В замке на общей оси 5 дисков. Каждый диск разделен на 6 секторов, на которых написаны различные буквы. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открыть:

1.1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей

 

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично, какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема сложения вероятностей совместных событий:

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A+B)= P(A)+P(B)-P(AB)

Теорема умножения вероятностей:

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предложении, что первое событие уже наступило:

;

 

Пример 1.9. Студент сдает экзамен по теории вероятностей. Вероятность получить на экзамене «2» равна 0, 1; «3» – 0, 6; «4» – 0, 2; «5» – 0, 1. Какова вероятность того, что студент получит на экзамене положительную оценку?

Решение: Пусть событие А – студент получит на экзамене положительную оценку.

Задачу можно решить двумя способами.

Первый способ. , здесь Р (3) – вероятность получить на экзамене оценку «3» и т.д.

Второй способ. , т.к. событие А и событие «2» - получить двойку на экзамене - являются противоположными.

Пример 1.10. В урне находятся 7 белых и 3 черных шара. Подряд извлекают 2 шара. Какова вероятность того, что оба они черные?

Решение:

Первый способ: пусть событие А – первый шар черный, событие В – второй шар черный.

Второй способ:

Пример 1.11. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

Решение: Пусть событие А – появление шестерки на первой кости, В – на второй. Тогда (А+В) – появление хотя бы одной шестерки при бросании костей. События А и В совместные. По формуле

находим

Задания для самостоятельной работы:

1. В группе из 25 студентов, среди которых 10 девушек, разыгрывают 5 билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 девушки.

2. В партии из 15 однотипных стиральных машин 5 машин изготовлены на заводе А, а 10 – на заводе В. Случайным образом отобрано 5 машин. Найти вероятность того, что 2 из них изготовлены на заводе А.

3. В порт приходят корабли только из трех пунктов отправления. Вероятность появления корабля из первого пункта равна 0, 2, из второго пункта – 0, 6. Найти вероятность прибытия корабля из третьего пункта.

Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂,..., А_n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

Пример 1.12. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: . Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение. События А₁, А₂ и А₃ – попадание первого орудия, второго и третьего – независимы в совокупности. Определим вероятности противоположных событий :

; ;

Искомая вероятность

Задания для самостоятельной работы:

1. В студии телевидения 3 телевизионные камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна р= 0, 6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера (событие А).

2. Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз при двух независимых испытаниях, равна 0, 75. Найти вероятность появления события в одном испытании (в предположении, что вероятность появления события в обоих испытаниях одна и та же).

 

1.1.3. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез.

Формула Байеса

Вероятность события А, которая наступит лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂,..., В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

– формула полной вероятности

– формулы Бейеса

Пример 1.13. В сборочный цех завода поступают 40% деталей из I цеха и 60% - из II цеха. В I цехе производится 90% стандартных деталей, а во II – 95%. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется стандартной.

Решение: Событие А – взятая наудачу деталь стандартная. Возможны две гипотезы H₁ – деталь изготовлена цехом I. H₂ - II цехом. События H₁ и H₂ – образуют полную группу

; .

– условная вероятность события А при условии гипотезы H₁

– условная вероятность события А при условии гипотезы H₂

По формуле полной вероятности

.

Решение задачи можно представить схематически:

А

Пример 1.14. В примере 1.13. «Наудачу взятая деталь оказалась стандартной» (Это ключевая фраза, она всегда есть в задачах с применением формулы Бейеса). Найти вероятность того, что деталь изготовлена I цехом.

По формуле Бейеса

Р(А) – определяется по формуле полной вероятности

 

Примечание: до испытания H₁=0, 4, после испытания H₁=0, 39.

Задания для самостоятельной работы:

1. Прибор содержит 2 микросхемы. Вероятность выхода из строя в течение 10 лет первой микросхемы равна 0, 07, а второй – 0, 10. Известно, что из строя вышла первая микросхема.

2. Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод производит 45% общего количества электроламп, второй – 40%, третий – 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго – 80%, третьего – 81%. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной?

3. Завод выпускает три типа предохранителей для магнитофона. Доля каждого из них в общем объеме составляет: 30%; 50% и 20% соответственно. При перегрузке сети предохранитель первого типа срабатывает с вероятностью 0, 8; второго – 0, 9; третьего – 0, 85. Выбранный произвольно предохранитель не сработал при перегрузке сети. Какова вероятность того, что он принадлежал к первому типу?

4. В группе спортсменов 15 лыжников, 5 велосипедистов и 10 бегунов. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника - 0, 8, для велосипедиста – 0, 7, для бегуна – 0, 6. Выбранный наудачу спортсмен выполнил норму. Найти вероятность того, что это был бегун.

5. Турист может пообедать в 3 столовых города. Вероятность того, что он отправится в первую столовую - , во вторую - и в третью – . Вероятность того, что эти столовые закрыты, следующая: первая - ; вторая - и третья - . Турист пришел в одну из столовых и пообедал. Какова вероятность того, что он направился во вторую столовую.

1.1.4. Повторение испытаний. Формула Бернулли

Вероятность того, что в результате проведения n одинаковых независимых испытаний, некоторое событие А наступит m раз, если в каждом из этих испытаний данное событие наступает с постоянной вероятностью, Р(А)=р определяется по формуле Бернулли:

, где – вероятность ненаступления данного события А (она тоже постоянна).

Пример 1.15. Игральный кубик бросается 3 раза. Найти вероятность того, что шестерка выпадет: а) 2 раза; б) 3 раза; в) ни разу.

Решение:

а) ;

б) ;

в) .

Наивероятнейшее число m₀ появления события А в n независимых испытаниях по формуле:

1. Если числа и – дробные, то число m₀ – единственное.

2. Если же числа и – целые, то будут два значения наивыгоднейшего числа m₀.

Пример 1.16. Три раза подбросили монету. Найти наивероятнейшее число появлений герба и построить многоугольник распределения вероятностей появления герба.

Решение:

; . Т.о.

Следовательно, герб появится либо один раз, либо два раза. Построим многоугольник распределения вероятностей. Для этого найдем вероятности следующих событий:

а) герб не появится ни разу при 3 бросаниях

;

б) герб появится один раз ;

в) герб появится два раза ;

г) герб появится три раза .

Многоугольник распределения вероятностей появления герба при трех бросаниях изображен на рис. 1.

 

Рис.1.

m_i – число выпадений герба

Пример 1.17. Игральная кость бросается три раза. Найти наивероятнейшее число появлений шестерки и построить многоугольник распределения вероятностей появления шестерки.

Решение:

; . Т.о.

Следовательно, вероятнее всего шестерка не появится ни разу. Построим многоугольник распределения вероятностей появления шестерки:

а) шестерка не появится ни разу при трех бросаниях:

б) шестерка появится один раз:

в) шестерка появится два раза:

г) шестерка появится три раза:

Многоугольник распределения вероятностей появления шестерки при трех бросаниях игральной кости изображен на рис. 2.

 

Рис. 2.

m_i – число выпадений шестерки.