ВВЕДЕНИЕ. Данное пособие является второй частью курса «Теория вероятностей и математическая статистика» и посвящено изложению основных идей и методов математической

Данное пособие является второй частью курса «Теория вероятностей и математическая статистика» и посвящено изложению основных идей и методов математической статистики. Пособие состоит из трех модулей, каждый из которых содержит теоретический материал, контрольные вопросы, позволяющие проверить усвоение теории, и тестовые задания для подготовки к итоговому тестированию.

Первый модуль посвящен основным задачам и понятиям математической статистики и статистическому оцениванию параметров распределений.

В первой теме модуля введены понятия генеральной совокупности, выборки, группировки данных, рассмотрены методы построения интервального и вариационного ряда и их графические представления в виде гистограммы и полигона. Во второй теме дается определение оценок параметров, рассматриваются несмещенные и состоятельные оценки, определяются эмпирическое среднее и дисперсия и изучаются их свойства. Третья тема модуля посвящена формулировке и доказательству неравенства Рао-Крамера, определению и исследованию эффективных оценок.

Во втором модуле рассматриваются основные распределения математической статистики и их приложения.

В первой теме приведены два основных метода нахождения оценок параметров – метод моментов и метод наибольшего правдоподобия. Вторая тема посвящена определению и изучению распределений хи-квадрат и Стьюдента. В третьей теме формулируется и доказывается теорема о распределении выборочных характеристик нормальной совокупности, находящая широкое применение при построении доверительных интервалов и проверке статистических гипотез.

Третий модуль посвящен таким важнейшим разделам математической статистики, как интервальное оценивание и проверка статистических гипотез.

В первой теме модуля вводится понятие доверительного интервала и приведены примеры построения доверительных интервалов для параметров нормальной совокупности. Вторая тема посвящена основным идеям проверки статистических гипотез и их иллюстрации на примере критерия знаков. В третьей теме рассматриваются критерии Пирсона, Смирнова и Колмогорова.

Следует заметить, что в пособии намеренно не рассматриваются вопросы регрессионного и дисперсионного анализа, поскольку они подробно излагаются в курсе общей теории статистики, который обычно читается параллельно с данным курсом.

МОДУЛЬ 1. Основные задачи математической статистики. Оценки параметров, их свойства

 

ТЕМА 1. Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность, выборка, группировка данных, интервальный и вариационный ряды

Основная задача теории вероятностей – изучение вероятностных свойств случайных величин в предположении, что их распределение известно. Например, если задана случайная величина , имеющая нормальное распределение с плотностью , то можно вычислить математическое ожидание , дисперсию , вероятность попадания значений случайной величины в некоторый интервал. Параметры и считаются известными.

Задачи математической статистики в некотором смысле противоположны. Распределение случайной величины неизвестно, а известны только результаты независимых измерений ее значений. На основе этих опытных данных нужно сделать выводы о распределении случайной величины, ее параметрах и т.п. Например, в случае нормальной случайной величины можно решать задачу об оценке параметров и по результатам наблюдений. Можно оценить вероятность того, что параметры находятся в некоторых интервалах. Наконец, можно поставить задачу проверки гипотезы, что имеет нормальное распределение или что .

Основой для всех процедур математической статистики является набор опытных данных или выборка.

Определение. Пусть имеется случайная величина , называемая генеральной совокупностью. Выборкой объема называется вектор полученный в результате независимых измерений случайной величины .

Замечание. Часто рассматривают как независимые случайные величины, имеющие то же распределение, что и генеральная совокупность .

Определение. Если среди выборочных значений имеются повторяющиеся, то рассматривают вариационный ряд, то есть таблицу , где - выборочные значения, а - их кратности, то есть количества повторений. Должно выполняться условие , где - объем выборки.

Пример. Пусть - выборка объема . Тогда данной выборке соответствует следующий вариационный ряд: .

Графически вариационный ряд можно представить с помощью полигона. Если на координатной плоскости на оси абсцисс откладывать выборочные значения , на оси ординат – кратности или частоты , отметить точки с координатами , , и последовательно соединить их отрезками прямых линий, то полученная ломаная линия называется полигоном. Для нашего примера полигон выглядит следующим образом:

(По разным осям масштаб может быть различным.)

Если объем выборки большой, то прибегают к группировке данных. Пусть - выборка объема . Находят наименьшее выборочное значение и наибольшее выборочное значение . Число называется размахом выборки. Интервал , содержащий все выборочные значения, делят на интервалов равной длины. Количество интервалов можно вычислять по формуле , называемой формулой Стэрджеса. Тогда длина каждого интервала определяется равенством . Вычислим числа , по формуле . Заметим, что при этом , . Обозначим через количество выборочных значений, попавших в интервал (при рассматривается интервал ). Получим следующую таблицу, называемую интервальным рядом.

	…		…
	…		…

Должно выполняться условие . Из интервального ряда можно получить вариационный ряд, положив , . Графически интервальный ряд представляется с помощью гистограммы. Для построения гистограммы на оси абсцисс откладывают границы интервалов , , на оси ординат – частоты или относительные частоты , . Затем над каждым интервалом строят прямоугольник высота (или ) с данным основанием, . Полученная фигура называется гистограммой частот (или гистограммой относительных частот).

Пример. Пусть имеется интервальный ряд

	[150, 160)	[160, 170)	[170, 180)	[180, 190)	[190, 200]

 

Здесь m =4+23+48+17+8=100.

Гистограмма частот для данного интервального ряда выглядит следующим образом.