ТЕМА 6. Распределение выборочных характеристик нормальной совокупности

В данной теме будет рассмотрена нормальная генеральная совокупность и найдено распределение ее важнейших характеристик. Полученные результаты будут широко применяться при построении доверительных интервалов и проверке статистических гипотез. Поскольку доказательство некоторых фактов требует глубокого знания линейной алгебры, в частности, теории квадратичных форм, часть утверждений следующей теоремы будет приведена без доказательства.

Теорема (о распределении выборочных характеристик нормальной совокупности).

Пусть генеральная совокупность имеет нормальное распределение с параметрами (), - выборка объема n из данной генеральной совокупности, - эмпирическое среднее, - эмпирическая дисперсия, . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) и независимы,

2) имеет нормальное распределение с параметрами (),

3) имеет распределение -квадрат с n-1 степенью свободы (),

4) имеет распределение Стьюдента с n-1 степенью свободы ().

Доказательство.

1) Данное утверждение примем без доказательства.

2) Поскольку можно рассматривать как независимые случайные величины, имеющие то же распределение, что и генеральная совокупность , то выполняются соотношения . Поскольку каждая , имеет нормальное распределение, то их линейная комбинация также имеет нормальное распределение. Найдем параметры этого распределения. Имеем:

,

.

Следовательно, имеет нормальное распределение с параметрами и второе утверждение теоремы доказано.

3) Данное утверждение примем без доказательства.

4) Так как из второго утверждения теоремы имеет нормальное распределение с параметрами , то случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами 0, 1. Действительно, нормальность данной случайной величины вытекает из нормальности . Далее имеем:

, .

Из третьего утверждения теоремы случайная величина имеет распределение . Тогда по определению 2 распределение Стьюдента случайная величина имеет распределение . Преобразуем данную случайную величину. Имеем: .

Таким образом, действительно случайная величина имеет распределение Стьюдента с n-1 степенью свободы.

Доказательство теоремы завершено.

 

Контрольные вопросы

1) Как определяются моменты случайной величины и от чего они зависят?

2) Как определяются эмпирические моменты и от чего они зависят?

3) В чем состоит основная идея метода моментов?

4) Чему равна оценка параметра распределения Пуассона, найденная по методу моментов? Совпадает ли она с оценкой этого же параметра, найденной по методу наибольшего правдоподобия?

5) Чему равна оценка параметра показательного распределения, найденная по методу моментов? Совпадает ли она с оценкой этого же параметра, найденной по методу наибольшего правдоподобия?

6) Каким свойством логарифма руководствуемся, переходя от функции правдоподобия к ее логарифму?

7) Всегда ли оценку наибольшего правдоподобия можно находить с помощью уравнения правдоподобия?

8) Всегда ли решение уравнения правдоподобия дает оценку наибольшего правдоподобия?

9) Каким условиям должны удовлетворять случайные величины для того, чтобы случайная величина имела распределение ?

10) Каким условиям должны удовлетворять случайные величины для того, чтобы случайная величина имела распределение ?

11) Каким условиям должны удовлетворять случайные величины и для того, чтобы случайная величина имеет распределение ?

12) Как формулируется теорема сложения для распределения ?

13) Если имеет распределение , то какое распределение имеет эмпирическое среднее ?

14) Если имеет распределение , то какая функция от имеет распределение

15) Если имеет распределение , то какая функция от имеет распределение ?