Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системой m линейных алгебраических уравнений с n переменными (линейной системой) называется система вида:




Общие положения

Системой m линейных алгебраических уравнений с n переменными (линейной системой) называется система вида:

(25)

где aij, bi – числа ;

aij –коэффициенты системы линейных уравнений;

bi – свободные члены.

Сокращенно систему (25) можно представить в виде:

, . (26)

Система уравнений (25) может быть представлена в матричной форме, т. е. в виде матричного уравнения:

, (27)

где – матрица коэффициентов системы линейных уравнений,

, – вектор неизвестных и вектор свободных членов соответственно.

Решить систему уравнений (25) – значит найти такие значения х1, x2, ¼, хn, которые превращали бы все уравнения системы (25) в тождества.

Например, пусть имеется система уравнений

. (28)

Система (28) может быть представлена в матричной форме:

или при вводе обозначений

, ,

в виде (27): .

Решением системы будет: x1=1, x2=2, x3= – 1.

Решение системы линейных уравнений требует специальных математических методов.

Рассмотрим систему линейных уравнений 2-го порядка.

(29)

Возможны следующие варианты решения системы (29):

1. Решение единственно (рис. 35), определитель системы D ¹ 0:

Например,

.

 

Рис. 35. Решение системы единственно

2. Решений нет (рис. 36), определитель системы D = 0. Система называется вырожденной.

Например,

.

.

Рис. 36. Решений системы нет

3. Решений бесчисленное множество (рис. 37), определитель системы D = 0. Система называется вырожденной:

Например,

.

.

Рис. 37. Решений бесчисленное множество

 

4. Плохо обусловленные системы (рис. 38), определитель системы D близок к 0. Возможность получения единственного решения зависит от точности вычислений, производимых при решении, при разработке алгоритмов решения стараются предусмотреть методы борьбы с плохой обусловленностью (например, повышение точности счета).

Рис. 38. Плохо обусловленные системы

Для решения систем линейных уравнений существуют две группы методов: точные и приближенные методы.

Точные методы – это такие методы, в которых в принципе можно получить конечный результат, предполагая, что все коэффициенты и все промежуточные вычисления с ними выполняются точно.

Приближенные методы – методы, которые, даже в предположении точности всех промежуточных вычислений, дают только приближенное решение. Причем это решение можно получить с любой заранее заданной степенью точности e.

Рассмотрим числовую ось (рис. 39).

 

 

Рис. 39. Числовая ось

Получить решение с заданной степенью точности e – значит найти такое значение х, которое попало бы в e окрестность относительно x*, где x* – точное решение.

Точные и приближенные методы имеют свои достоинства и недостатки.

Достоинством приближенных методов является их простота, возможность самоисправления ошибок, допущенных при обработке результатов.

Рассмотрим следующие точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений:

- метод Крамера;

- метод Гаусса;

- метод обращения матриц

и приближенные итерационные методы:

- метод простых итераций;

- метод Зейделя.







Дата добавления: 2014-11-12; просмотров: 528. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2021 год . (0.003 сек.) русская версия | украинская версия