Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системой m линейных алгебраических уравнений с n переменными (линейной системой) называется система вида:

Общие положения

Системой m линейных алгебраических уравнений с n переменными (линейной системой) называется система вида:

(25)

где a_ij, b_i – числа ;

a_ij –коэффициенты системы линейных уравнений;

b_i – свободные члены.

Сокращенно систему (25) можно представить в виде:

, . (26)

Система уравнений (25) может быть представлена в матричной форме, т. е. в виде матричного уравнения:

, (27)

где – матрица коэффициентов системы линейных уравнений,

, – вектор неизвестных и вектор свободных членов соответственно.

Решить систему уравнений (25) – значит найти такие значения х ₁, x ₂, ¼, х_n, которые превращали бы все уравнения системы (25) в тождества.

Например, пусть имеется система уравнений

. (28)

Система (28) может быть представлена в матричной форме:

или при вводе обозначений

, ,

в виде (27): .

Решением системы будет: x₁=1, x₂=2, x₃= – 1.

Решение системы линейных уравнений требует специальных математических методов.

Рассмотрим систему линейных уравнений 2-го порядка.

(29)

Возможны следующие варианты решения системы (29):

1. Решение единственно (рис. 35), определитель системы D ¹ 0:

Например,

.

 

Рис. 35. Решение системы единственно

2. Решений нет (рис. 36), определитель системы D = 0. Система называется вырожденной.

Например,

.

.

Рис. 36. Решений системы нет

3. Решений бесчисленное множество (рис. 37), определитель системы D = 0. Система называется вырожденной:

Например,

.

.

Рис. 37. Решений бесчисленное множество

 

4. Плохо обусловленные системы (рис. 38), определитель системы D близок к 0. Возможность получения единственного решения зависит от точности вычислений, производимых при решении, при разработке алгоритмов решения стараются предусмотреть методы борьбы с плохой обусловленностью (например, повышение точности счета).

Рис. 38. Плохо обусловленные системы

Для решения систем линейных уравнений существуют две группы методов: точные и приближенные методы.

Точные методы – это такие методы, в которых в принципе можно получить конечный результат, предполагая, что все коэффициенты и все промежуточные вычисления с ними выполняются точно.

Приближенные методы – методы, которые, даже в предположении точности всех промежуточных вычислений, дают только приближенное решение. Причем это решение можно получить с любой заранее заданной степенью точности e.

Рассмотрим числовую ось (рис. 39).

 

 

Рис. 39. Числовая ось

Получить решение с заданной степенью точности e – значит найти такое значение х, которое попало бы в e окрестность относительно x*, где x* – точное решение.

Точные и приближенные методы имеют свои достоинства и недостатки.

Достоинством приближенных методов является их простота, возможность самоисправления ошибок, допущенных при обработке результатов.

Рассмотрим следующие точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений:

- метод Крамера;

- метод Гаусса;

- метод обращения матриц

и приближенные итерационные методы:

- метод простых итераций;

- метод Зейделя.