Метод наименьших квадратов. Параметры a1, a2 ¼ , ak аппроксимирующей зависимости (12) находятся, исходя из следующего условия(сумма квадратов невязок между экспериментальными и

Параметры a₁, a₂ ¼, a_k аппроксимирующей зависимости (12) находятся, исходя из следующего условия (сумма квадратов невязок между экспериментальными и расчетными данными на всем интервале аппроксимации должна быть минимальна, рис. 29):

, (21)

где y_i^э – экспериментальные данные;

– расчетные данные;

i – порядковый номер точки;

m – число экспериментальных точек.

Рис. 29. Метод наименьших квадратов

(ye – экспериментальные данные, ymnk – расчетные данные)

Поскольку критерий R(a₁, а₂, ¼, a_k) является функцией неизвестных параметров, его использование позволяет получить из условия (21) систему уравнений, в которой число неизвестных равно числу уравнений.

Условием существования экстремума (в нашем случае минимума) функции нескольких переменных является равенство нулю частных производных по каждой из переменных. Поэтому для приведения системы (21) к виду, удобному для решения, необходимо найти частные производные функции R по каждой из переменных a₁, а₂, ¼, a_k:

. (22)

Коэффициенты зависимости (12) получают в результате решения системы уравнений (22).

Для примера выберем ту же зависимость (13)

.

Необходимо найти неизвестные параметры a₀, a₁, a₂. Для этого запишем условие (21):

и вычислим частные производные:

,

преобразуем:

. (22)

Решение полученной системы уравнений (22) относительно неизвестных параметров a₀, a₁, a₂ позволяет найти параметры аппроксимирующей зависимости.

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для нахождения параметров зависимости (15)

.

Как и в предыдущем методе, приведем зависимость (15) к линейному виду относительно неизвестных коэффициентов:

.

Тогда вместо зависимости (21)

в качестве условия поиска коэффициентов используем

или

(23)

Вычислим частные производные

преобразуем:

(24)

Решим систему (24) относительно А₀ a₁, a₂ и рассчитаем коэффициент а₀:

.