Метод Гаусса
В основе метода Гаусса используются элементарные преобразования матрицы коэффициентов системы с целью приведения ее к более простому виду (например, треугольному), решение которой не представляет труда. В качестве таких преобразований используются: а) вычитание из одной строки другой, умноженной на константу, отличную от нуля; б) перестановка строк; в) умножение строки на число, отличное от нуля. Пусть имеется система линейных уравнений 3-го порядка:
и матрица коэффициентов системы не имеет нулевых диагональных элементов, и ее определитель отличен от нуля. Тогда решение может быть получено следующим образом. 1. Разделим все элементы первой строки на с 11 (включая y):
2. Исключим элементы первого столбца из второго и третьего уравнений системы (элементы c21 и c31). Для этого элементы первой строки умножим на c21 и c31, т. е. получим:
и 3. Затем из элементов второй и третьей строки вычтем соответствующие элементы полученных уравнений, т. е.
Введем переобозначение для второго и третьего уравнений системы:
где
4. Вновь полученную вторую строку разделим на d 11:
5. Исключим элемент d 21 из третьей строки. Для этого элементы второй строки умножим на d 21:
6. Затем из элементов третьей строки вычтем элементы полученного уравнения.
7. Из последнего уравнения найдем a 2, из второго a 1 и из первого – a 0.
Пример решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Имеем систему (32):
1. Зададим системную переменную, исходные значения матрицы системы и вектора свободных членов
2. Сформируем промежуточные матрицы для переобозначения:
3. Решим систему и высветим результат:
4. Осуществим проверку решения:
Результаты совпали, следовательно, решение верно.
|
,
, 
, 
,
, 
, 
.
.
,
,
.
