Метод обращения матриц

Пусть имеется система линейных уравнений

(33).

Если уравнение (33) умножить слева и справа на обратную матрицу C^–1

,

то, учитывая, что

,

где E – единичная матрица, получим формулу для решения системы методом обращения матриц:

. (34)

Сложность этого метода заключается в нахождении обратной матрицы С^-1, которая рассчитывается следующим образом.

Находится транспонированная матрица С^Т.

Если , то .

Затем рассчитывается матрица алгебраических дополнений:

,

где С_{i, j} – алгебраические дополнения элементов С_{i, j} (), которые находятся следующим образом: из транспонированной матрицы вычеркивается i -я строка и j -й столбец, определитель оставшейся части записывается в элемент матрицы алгебраических дополнений С*_{i, j}. Знак «–» ставится перед определителем в том случае, если сумма индексов определителя является нечетным числом.

, , ,

, , ,

, , .

 

Элементы обратной матрицы ищутся из элементов матрицы алгебраических дополнений по формуле:

,

где det C – определитель матрицы С.

В Mathcad существует встроенная функция для расчета обратной матрицы. Она вызывается нажатием кнопки Inverse (Инверсия) на панели Matrix (Матрицы) (рис. 41).

Рис. 41. Вызов вычисления обратной матрицы

Так каксогласно (34) ,

имеем

,

где z_ij – элементы обратной матрицы С^-1.

Проведя умножение матрицы на столбец, получим выражения для каждого коэффициента:

,

,

.

Пример решения системы линейных алгебраических уравнений методом обращения матриц.

Имеем систему (32):

1. Зададим системную переменную, исходные значения матрицы системы и вектора свободных членов

2. Транспонируем матрицу:

3. Найдем матрицу алгебраических дополнений:

4. Найдем обратную матрицу и осуществим проверку с помощью встроенной функции Mathcad:

5. Найдем решение системы:

6. Осуществим проверку решения:

Результаты совпали, следовательно, решение верно.