Определители третьего порядка

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим квадратной таблице элементов

,

называется число, определяемое равенством

(2)

Пример 4. Вычислить определитель

.

Решение. По определению получим:

Если в формуле (2) раскрыть определители второго порядка и собрать слагаемые с одинаковыми знаками, то получим:

(3)

Этот способ вычисления определителя третьего порядка называется правилом треугольника.

Первые три слагаемых для вычисления определителя есть сумма произведений элементов главной диагонали и элементов, расположенных в вершинах треугольников, как они показаны линиями на первом рисунке; оставшиеся слагаемые есть сумма произведений, взятых со знаком минус, элементов побочной диагонали и элементов, расположенных в вершинах треугольников, как они показаны линиями на втором рисунке.

Пример 5. Вычислить определитель по правилу треугольника.

Решение. Перемножим элементы главной диагонали определителя , затем – элементы, лежащие на параллелях к этой диагонали, и элементы из противоположного угла определителя согласно правилу треугольника , . Элементы, входящие в формулу (3) со знаком минус, вычисляем аналогично, но относительно побочной диагонали: , , .

Таким образом

Определение. Определитель, в котором под главной диагональю (над главной диагональю) стоят нули, называется определителем треугольного вида.

Определитель треугольного вида равен произведению элементов главной диагонали.

Пример 6. Вычислить определитель .

Решение. По условию дан определитель треугольного вида, т.к. под главной диагональю этого определителя стоят нули, значит значение данного определителя равно произведению элементов главной диагонали, то есть .

Определение. Минором элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный из данного определителя путем вычеркивания строки и столба, на пересечении которых стоит данный элемент.

Минор элемента , стоящего на пересечении i -ой строки и j -го столбца определителя, обозначают .

Например, для определителя

миноры , .

Определение. Алгебраическим дополнением данного элемента определителя 3-го порядка называется минор этого элемента, умноженный на , где k равно сумме номера строки и номера столбца, на пересечении которых находится этот элемент.

Алгебраическое дополнение элемента обозначают . Согласно определению .

Для определителя третьего порядка знак, который при этом приписывается минору соответствующего определителя, определяется следующей таблицей: .

Из определения определителя третьего порядка следует, что

.

Верна общая теорема разложения: определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на соответствующие этим элементам алгебраические дополнения.

Таким образом, имеют место шесть разложений:

(5)

Отметим, что сумма произведений элементов какого-либо ряда (строки или столбца) на алгебраические дополнения элементов параллельного ряда равна нулю.

Пример 7. Вычислить определитель ,

разлагая его по элементам третьего столбца.

Решение. Согласно теореме разложения имеем: