Обратная матрица

Пусть А -квадратная матрица n- го порядка

.

Определение. Матрица

составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы А, называется присоединенной к матрице А.

Алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы находятся так же, как к элементам ее определителя. В присоединенной матрице алгебраические дополнения элементов строки стоят в столбце с таким же номером.

Пример 23. Дана матрица

Найти матрицу, присоединенную к матрице А.

Решение. Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А:

Составим матрицу , присоединенную к матрице А

.

Определение. Матрица называется обратной матрице А, если выполняется условие

, (14)

где – единичная матрица того же порядка, что и матрица . Матрица имеет те же размеры, что и матрица .

Теорема. Для того, чтобы матрица имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы то есть чтобы матрица была невырожденной.

Обратная матрица находится по формуле:

(15)

для матрицы А третьего порядка.

Свойства обратной матрицы:

1.

2.

3.

Пример 24. Найти , если

Решение. Проверим, является ли данная матрица невырожденной. Вычислим определитель, соответствующий матрице :

следовательно, матрица невырожденная и для нее существует обратная матрица .

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы :

Составим матрицу по формуле (15)

Проверка:

Следовательно, обратная матрица найдена верно.

Пример 25. Показать, что матрица является обратной для , если

Решение. Найдем произведение матриц и :

Следовательно, матрица является обратной для матрицы .

Пример 26. Найти матрицу, обратную для матрицы

Решение. Найдем определитель матрицы :

Матрица – вырожденная, значит обратная для нее матрица не существует.

 

Пример 27. Найти матрицу, обратную для данной матрицы

Решение. Найдем определитель матрицы :

значит матрица невырожденнаяи для нее существует обратная матрица .

 

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы :

Используя формулу (15), составим матрицу :

.

Проверка:

Значит обратная матрица найдена верно.