Формула Бернулли

Часто встречаются задачи, в которых одно и то же испытание повторяется многократно. В результате каждого испытания может появиться или не появиться некоторое событие . Нас будет интересовать число наступлений события в серии из испытаний.

Определение 1. Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода – появление события (“успех”) или не появление его (“неудача”), при этом “успех” в каждом испытании происходит с вероятностью , а неудача с вероятностью .

Теорема (формула Бернулли). Вероятность того, что в испытаниях по схеме Бернулли “успех” наступит ровно раз: (1.19)

Доказательство. Все испытаний можно рассматривать как одно сложное испытание, имеющее возможных исходов. (Например, при возможные исходы такого сложного испытания – ).

1) Число благоприятных исходов равно числу способов, которыми можно расположить успехов на различных местах, то есть равно .

2) Вероятность каждого отдельного исхода можно подсчитать по формуле произведения вероятностей независимых событий. Например, вероятность появления комбинации: равна . Очевидно, что вероятности остальных комбинаций равны также .

Поскольку все исходы являются несовместными событиями, то вероятность, что событие в испытаниях появится ровно раз: .

Определение 2. Числа называются биномиальными вероятностями.

Пример 1. Для контроля качества из партии деталей отбирается 5 деталей. Партия бракуется, если в выборке хотя бы две бракованные детали. Найти вероятность того, что партия будет забракована, если каждая деталь может оказаться бракованной с вероятностью 0,01.

Решение. Найдем вероятность того, что в выборке из 5 деталей будет не более одной бракованной детали:

.

Тогда вероятность того, что партия будет забракована: .

Если каждое испытание имеет исходов, вероятности которых , , то вероятность того, что в испытаниях первый исход появится раз, второй исход появится раз и т.д. определится по формуле:

. (1.20)

Доказательство формулы аналогично случаю двух исходов.