Нормальный закон распределения.

Если плотность распределения случайной величины x определяется формулой

, (1)

где а – произвольное число, а s – положительное число, то говорят, что x распределена по нормальному закону или что x “нормальная” случайная величина.

Значения а и s полностью определяют функцию р (х). Для неё иногда вводится обозначение: p (x) = n (x; a;s).

График плотности распределения нормальной случайной величины при некоторых значениях а и s представлен на рисунке 6. График симметричен относительна прямой х = а, и выполняются условия: р (х) ® 0 при х ® ±µ. Если а увеличивать, оставляя s неизменной, то график будет перемещаться вправо, а если а уменьшать, то – влево, не изменяя формы.

Если значение а неизменно, то относительно малому значению s будет соответствовать график р (х) с выраженным пиком, как на рисунке 2. При относительно большом значении s график р (х) представляет собой пологую кривую, как изображено на рисунке 3.

Функция распределения F (x) нормальной случайной величины x иногда обозначается N (x; a;s). Она обычным образом получается из плотности распределения x:

Графики функции F (x) для нормально распределённых слу­чайных величин при отно­сительно малых и относительно больших значениях s
изобра­жены, соответственно, на рисунках 4 и 5.

Из симметрии графика функции плотности распределения р (х) нормально распределённой случайной величины x относительно прямой х = а следует, что М x = а.

Если вычислить дисперсию D x нормально распределённой случайной величины, то оказывается, что она равна s².

Таким образом, параметры а и s в формуле для плотности распределения случайной величины, распределённой по нормальному закону, приобретают смысл: а – математическое ожидание, s² – дисперсия.

Вероятность того, что нормально распределённая случайная величина x примет значение из промежутка (х ₁, х ₂) рассчитывается по формуле

Здесь – интегральная функция Лапласа – ;

.

Значения F(х) определяются из таблиц, как это показывалось ранее.

Если случайная величина x имеет плотность распределения, выражающуюся функцией n (x;0;1), то есть x – нормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице, то

Случайную величину с плотностью распределения n (x;0;1) можно принять за некоторый эталон для случайных величин, распределённых по нормальному закону. График плотности распределения такой случайной величины симметричен относительно оси ординат.

Пусть x и h – независимые нормально распределённые случайные величины, при этом М x = а ₁, D x = s₁², М h = а ₂, D h = s₂². Тогда случайная величина y, равная сумме с₁x + с₂h (с₁ и с₂ – любые числа), тоже распределена по нормальному закону. Её математическое ожидание и дисперсия определяются формулами: М y = с₁ а ₁ + с₂ а ₂, D y = с₁²s₁² + с₂²s₂².

Задача. Масса ящика, вмещающего 12 бутылок – нормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием 2 кг и среднеквадратическим отклонением 0,01 кг. Масса бутылки с пивом – тоже нормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием 0,8 кг и среднеквадратическим отклонением 0,04 кг. Найти вероятность того, что масса ящика с 12-ю бутылками пива будет находиться в пределах от 11 до 11,5 килограммов.

Правило 3-х s (трех “сигм”).

Пусть имеется нормально распределённая случайная величина x с математическим ожиданием, равным а и дисперсией s². Определим веро­ятность попадания x в интервал (а – 3s; а + 3s), то есть вероятность того, что x принимает значения, отличающиеся от математического ожидания не более, чем на три среднеквадратических отклонения.

P(а – 3s< x < а + 3s)=Ф(3) – Ф(–3)=2Ф(3)

По таблице находим Ф (3)=0,49865, откуда следует, что 2 Ф (3) практи­чески равняется единице. Таким образом, можно сделать важный вывод: нормальная случайная величина принимает значения, отклоняющиеся от ее математического ожидания не более чем на 3s.

(Выбор числа 3 здесь условен и никак не обосновывается: можно было выбрать 2,8, 2,9 или 3,2 и получить практически тот же вероятностный результат. Учитывая, что Ф (2)=0,477, можно было бы говорить и о правиле 2–х “сигм”.)