Математика как язык науки

В целом по отношению к естествознанию математика играет роль формальной метатеории, поставляя запас готовых форм для пред­ставления знания. Но будучи полезным и удобным языком пред­ставления знаний, математика, как и всякий используемый нами язык, незаметно вводит и такие объекты, которые существуют толь­ко в самом языке. Еще Парменид заметил, что язык нас вводит в за­блуждение, так как в нем есть слово «небытие», хотя небытия и нет. Так статистика создает «средние величины», отсутствующие в ре­альности, так в платонистской математике допускается, чтобы эле­ментами множества наряду с индивидами были также и множества, и такое свободное конструирование множеств оказалось чревато па­радоксами. Из-за этого создается впечатление, что «математические формулы существуют независимо от нас, что они умнее своих созда­телей», как писал Г. Герц^[109].

Вместе с тем, работая с математической моделью процесса в виде уравнения, физик, произвольно изменяя его, получает новые со­отношения между величинами, которые в опыте еще не наблюда­лись. В этом состоит метод математической экстраполяции, благо­даря которому были получены многие важные результаты. Так, Дж. К. Максвелл видоизменил уравнения электродинамики так, что из них логически следовало существование переменного электро­магнитного поля, распространяющегося в пространстве со скоро­стью света, или «волн Герца». Эйнштейн писал: «Я убежден, что чис­то математическое построение позволит найти закономерности, ко­торые дадут ключ к познанию явлений природы»^[110].

Значение математической «идеи инвариантности» в физике

Примером продуктивного использования важной математической идеи в физике может служить принцип инвариантности (симмет­рии). В 1841 г. английский математик и логик Дж. Буль открыл класс алгебраических функций, обладавших свойством инвариантности при некоторых преобразованиях, а затем А. Кэли и Дж. Сильвестр создали новую область алгебры — теорию инвариантов. В физике математической идее инварианта соответствует идея относительно­сти. В качестве основного свойства механического движения его от­носительность была установлена Галилеем и приобрела фундамен­тальное значение в теориях, созданных в ХХ в. А. Эйнштейном. Последний указал, что свойством инвариантности обязательно долж­ны обладать все физические законы.

В других науках свойство инвариантности некоторых величин выявилось при использовании математических и системно-струк­турных методов познания.

Так, структура выступает как инвариантный аспект систем в химии, кристаллографии, биологии, социологии и лингвистике. Изомор­физм структур различных по субстрату явлений создает предпосыл­ку для единства их математического описания. Например, формула Кулона для взаимодействия электрических зарядов имеет ту же са­мую математическую форму, что и закон «всемирного тяготения» Ньютона.

Эйнштейн понял, что пространственные и временные параметры, траектория движения, масса могут быть различными в разных сис­темах отсчета, т. е. изменяться по своей величине при изменении способов их представления или описания («преобразованиях», «пере­фразировке»), но имеются и инвариантные характеристики, а также закон, связывающий изменяющиеся характеристики и координи­рующий их совместную изменяемость.

И сама математика, как это было показано еще Феликсом Клей­ном в «Эрлангенской программе» (1872), упорядочивается с помо­щью идеи инвариантности. Так, геометрия становится частным случа­ем теории инвариантов. Теория групп как некоторая часть алгебры позволяет по-новому взглянуть не только на физический мир, но и на математику. Между понятием числа и понятием группы выяв­ляется глубокая связь. С точки зрения теории познания понятие группы ставит на более высоком уровне ту же проблему, что возник­ла в связи с понятием числа. Создание натурального ряда чисел на­чиналось с установления «первого элемента» и правила, порождаю­щего последующие числа. Как бы мы ни продвигались в усложнении порождаемых «элементов», все они принадлежат к той же совокуп­ности, «группе». В теории групп преодолевается противопоставление «элемента» и «операции». Операции становятся элементами. Сово­купность операций образует группу, когда два любых последова­тельно проводимых преобразования дают тот же итог, который дает и одна-единственная операция. Так что группа есть закрытая систе­ма операций. Только при посредстве понятия группы Герман Мин- ковский смог придать строго математическую форму специальной теории относительности Эйнштейна и тем самым показать ее с со­вершенно новой стороны.