Естествознание и математика. Онтологические и гносеологические основания математизации знания

Известный физик Евгений Вигнер говорил о «необъяснимой приме­нимости» математики в естественных науках, а Н. Бурбаки писал: «В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением математических структур, и оказывается, неизвестно почему, что некоторые аспекты реальности будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм»^[105].

Действительно, в некоторых философских концепциях содержат­ся идеалистические и мистические моменты в попытках онтологиче­ского обоснования применимости математики в познании. Так, Пифа­гор утверждал, что «все есть число» и «миром правят числа». Платон отождествлял огонь, воду, землю, воздух, эфир с правильными мно­гогранниками. Кеплер даже построил модель Солнечной системы на основе пяти «платоновых тел». Готфрид-Вильгельм Лейбниц утверж­дал, что между математикой и природой существует предустанов­ленная гармония. В современной философии «логические атомисты» сводят математику к логике.

Давались и разнообразные гносеологические основания математи­зации знания. Так, Платон считал, что математическое знание запе­чатлено в душе человека, а не основано на практическом опыте. Кант универсальную применимость математики объяснял тем, что ариф­метика и геометрия суть априорные формы нашей «чувственности» и поэтому присутствуют во всяком опыте, так что трехмерны не ве­щи и не пространство, а наше восприятие. В современной филосо­фии математики интуиционисты также основывают арифметику на априорном созерцании времени, а остальную математику — на ариф­метике.

Рациональное объяснение универсальной применимости матема­тики в познании состоит в том, что качество и количество вещей по отдельности существуют лишь в абстракции, объективным же суще­ствованием обладает лишь их единство, называемое «мерой».

Категория меры играла фундаментальную роль уже в философии досократиков, о чем свидетельствуют высказывания Пифагора и Ге­раклита. Поэтому, в частности, греки избегали пользоваться абстрак­цией актуальной бесконечности, которая не подчиняется закону ме­ры. «Пятый постулат» Евклида о параллельных линиях, в котором скрыто присутствует идея актуальной бесконечности, не казался им столь же очевидным, как другие аксиомы и постулаты, а аксиома «целое больше части» прямо запрещала рассматривать такие объек­ты, как бесконечные множества, для которых часть равна целому. Открытие греческими математиками несоизмеримости отрезков, т. е. отсутствие у них общей меры, вызвало первый кризис в основа­ниях математики.

Так как метод познания всегда определяется природой познавае­мого объекта, онтологическая универсальность меры объясняет гно­сеологическую универсальность математики.

«К области математики, — писал Декарт, — относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и со­вершенно несущественно, будут ли это числа, фигуры, звезды, звуки или что-нибудь другое»^[106].

Декарт полагал, что решение любой корректно поставленной на­учной проблемы может быть сведено к решению математической за­дачи, любая математическая задача — к алгебраической, а любая ал­гебраическая задача — к решению одного-единственного уравнения. Решить же уравнение — значит выразить неизвестную величину че­рез известные. Любая научная задача может быть решена, если ее формулировку освободить от всего лишнего и свести к отношениям простейших интуитивно ясных понятий. Так, весь физический мир Декарт считал возможным описать с помощью одного понятия про­тяженности. Пространство и время — различные виды протяженно­сти, а скорость движения есть отношение пространства ко времени. Движение точки полностью описывается двумя параметрами — ско­ростью и направлением. Если в пространстве (двумерном) введе­на метрика, то каждому положению точки сопоставляется пара чисел и траектория движения точки превращается в числовую последова­тельность.

Таким образом, движением точки создается «геометрическое ме­сто точек», или множество точек, определяемых каким-то общим для них свойством, а между «текущими» координатами точки име­ется какое-то закономерное отношение, порождающее эти точки од­ну за другой. Уравнение движения и есть знаковая модель процесса.

Итак, одно абстрактное отношение имеет две разные, но скоорди­нированные «проекции» — геометрический наглядный образ и чи­словое выражение. В этом и состоит, согласно Декарту, сущность ма­тематизации природы: «физика» сводится к геометрии, геометрия — к арифметике, а последняя выражается на языке алгебры, который обладает той особенностью, что, будучи вполне символическим, может выражать все что угодно. Создание удобных обозначений стало решающим условием математизации естествознания в XVII в. Свой вклад в усовершенствование символики внесли Фран­суа Виет и Лейбниц. Последний полагал, что обозначения «должны стимулировать воображение», т. е. что сами символы должны выпол­нять эвристическую роль в получении новых результатов, а не про­сто фиксировать то, что уже найдено без их участия.

Правда, заслуга эффективного применения математики для описа­ния природы принадлежит не Декарту, а Ньютону, так что говорят: «Декарт все объяснял, но ничего не вычислял, а Ньютон все вычис­лял, но ничего не объяснял», — поэтому физику Декарта называют «гипотетической», а физику Ньютона — «математической».

Гегель, со своей стороны, также подчеркивал, что «математика природы, если она стремится стать наукой, по существу своему долж­на быть наукой о мерах» ^[107] .

Поскольку структура есть такое же специфическое единство ко­личества и качества, как и мера, то Н. Бурбаки не высказывает чего- то иного, когда определяет математику как науку о структурах. Даже бесконечное как специфический объект математики не есть только неограниченное повторение, а есть «бесконечность отношений ме­ры» или «узловая линия» мер^[108].