Математическое моделирование

Математические модели являются разновидностями знаково-симво- лических моделей. Так, формула окружности в знаковой форме представляет все ее свойства. Все естественные науки, использую­щие математику, можно считать математическими моделями изучае­мых ими явлений.

Модель не тождественна явлению, так как состоит из искусствен­ных объектов — знаков. Она только в логически связанном виде представляет некоторые его аспекты и дает приближение к реально­сти. Например, гидродинамика — это модель движения жидкости.

В модели явным образом перечислены все предположения, кото­рые положены в ее основу и используются при ее построении. Так, при формализации содержательной математической теории пере­числяются все аксиомы и правила вывода формул, и никакие другие выражения, кроме допустимых, там просто не могут появиться, раз­ве что по ошибке.

Предположения, положенные в основу модели природного яв­ления, могут быть весьма грубыми. Так, ньютоновская модель Сол­нечной системы использовала такие предположения: небесные тела суть материальные точки соответствующей массы, локализован­ные в их центрах тяжести, между которыми действует сила, равная произведению масс, деленному на квадрат расстояния между ука­занными центрами и умноженная на некоторый коэффициент, вы­численный экспериментально. При всей грубости такой модели она давала возможность предсказывать расположение небесных тел на длительный срок и даже существование не наблюдавшихся ранее небесных тел по их взаимодействиям с наблюдаемыми телами. Так, в 1846 г. У. Леверье и Дж. Адамсом была открыта «на кончике пера» планета Нептун, а в 1930 г. П. Лоуэллом — планета Плутон. Более точная релятивистская модель позволила объяснить поведение Мер­курия, которое для прежней модели было аномалией.

В истории науки одно и то же явление нередко моделировалось по-разному. Для объяснения света предлагались корпускулярные и волновые модели, пока не появилась электромагнитная. Каждая из этих моделей требовала своего математического описания. Кор­пускулярная оптика пользовалась средствами евклидовой геомет­рии и позволяла вывести законы отражения и преломления света. Волновая модель использовала уже другой математический аппарат и позволяла объяснить явления интерференции и диффракции, ко­торые не были понятны геометрической оптике.

До появления компьютеров математическое моделирование сво­дилось к построению аналитической теории явления, которую не всегда доводили до формул, потому что природа оказывалась суще­ственно сложнее модели.

Упрощение модели (например, замена нелинейной модели ли­нейной) неизбежно означало уменьшение числа получаемых выво­дов, потерю части информации. При использовании компьютеров по-прежнему составляется логико-математическая модель задачи, а уже по ней составляется программа работы компьютера. Но иссле­дователь ставит уже не ту цель, что прежде, — вывод расчетной фор­мулы. Теперь он стремится вычислять все параметры явления. Так была построена модель последствий ядерной войны, могущих по­влиять на экологию планеты.

Математическое моделирование используется и тогда, когда о фи­зической природе известно недостаточно. В этом случае строится ги­потетическая модель и из нее выводятся допускающие наблюдение следствия. Гипотетические модели выполняют эвристическую роль, например, наводят на идеи новых экспериментов.

История науки показывает важность гипотез и основанных на них моделей. Например, на основе гелиоцентрической гипотезы Нико­лай Коперник построил математическую модель Солнечной системы.

«Планетарная модель» атома Эрнеста Резерфорда позволила Ниль- су Бору рассчитывать квантовые числа электронных орбит и т. п.

В прошлом математические модели природы строили, исходя из принципа лапласовского детерминизма. Предполагалось, что меж­ду различными по времени состояниями системы существует одно- однозначная связь. Однако уже в ХУШ в. в науке стали приме­няться и статистические модели, сначала в описаниях социальных явлений, а затем и в описании природы. Дж. К. Максвелл, Людвиг Больцман и другие построили кинетическую теорию газов, основан­ную на гипотезе, что любой объем газа состоит из очень большого числа хаотически движущихся молекул. Оказалось, что на основе столь простых предположений можно создать богатую результатами теорию, подтверждаемую экспериментами. Так, теоретико-вероятност­ные модели стали основой современной физики, особенно в физике микромира. Уравнение Шредингера есть модель поведения электро­на в атоме водорода, и оно служит, в принципе, теоретической осно­вой всей химии. Решить уравнение — значит найти волновую функ­цию, соответствующую стационарному состоянию атома. Решений всегда существует множество, и каждому соответствует свое значе­ние энергии. Основное состояние — состояние с минимальной энер­гией. Но точное решение уравнения Шредингера можно найти лишь в простейшем случае для одного электрона. С увеличением числа электронов сложность задачи катастрофически возрастает.

Математизация знаний заключается не только в использовании готовых математических структур в качестве моделей, но и в разви­тии математической теории: потребности «небесной механики» сти­мулировали создание Ньютоном «метода флюксий», т. е. дифферен­циального и интегрального исчисления.