Пересечение прямой и плоскости и плоскостей (общие случаи)

1) Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего

положения.

Если прямая и плоскость имеют общее положение (рис.17), то точка их пересечения определяется следующим образом:

а) прямую необходимо заключить во вспомогательную проецирующую плоскость (Р﬩ П₁, Р₁ ≡ А₁С₁);

б) построить линию пересечения заданной и вспомогательной плоскостей

(Р∩α (а // в) = МN);

в) найти искомую точку на пересечении полученной линии с заданной прямой (MN∩АС=К);

г) определить видимость по конкурирующим точкам (для определения видимости на П₁ взяты точки N₁≡3₁, точка 3 – видимая, значит прямая АС, которой она принадлежит, в П₁ будет видимой; для определения видимости в плоскости П₂ взяты точки 1₂≡ 2₂, точка2 – невидимая, значит прямая АС, которой она принадлежит, в П₂ будет невидимой.

2) Пересечение плоскостей общего положения (Рис. 18).

Точки, определяющие линию пересечения двух плоскостей общего положения, находятся с помощью двух вспомогательных плоскостей частного положения.

а) Для построения точки M использована горизонтально - проецирующая плоскость - посредник Q (Q₁), в которую заключена прямая а плоскости α (а // в).

б) Строим линию пересечения (на чертеже она задана точками 1 и 2) плоскости-посредника Q (Q₁) и плоскости АВC.

в) Находим точку M пересечения прямой 1 - 2 с прямой в. Найдена одна точка M искомой линии пересечения.

г) Для построения точки N использована горизонтально – проецирующая плоскость Р (Р₁), в которую заключена прямая в плоскости α (а // в). Построения аналогичны предыдущим.

 

 

 

Рисунок 18–Пересечение плоскостей общего положения

Рисунок 17 – Пересечение прямой и плоскости общего положения

д) Определение видимости на плоскости П₁ выполнено с помощью горизонтально - конкурирующих точек 4 и 5.

Точка 4 расположена над точкой 5(4₂ и 5₂), поэтому на плоскости П₁ плоскости α (а // в), расположенная в сторону точки 4, закрывает собой часть треугольника ABC, расположенную от линии пересечения в сторону точки 5.
С помощью пары фронтально - конкурирующих точек 6 и 7 определена видимость на плоскости П₂.