Идеальный газ. Задача 5. Для ситуации, описанной в вопросе 12, проведите расчет вероятности того, что в состоянии равновесия весь газ соберется в одной половине сосуда: а)

Задача 5. Для ситуации, описанной в вопросе 12, проведите расчет вероятности того, что в состоянии равновесия весь газ соберется в одной половине сосуда:
а) прямым подсчетом числа возможных способов размещения молекул по половинкам сосуда;
б) воспользовавшись формулой для отношения вероятностей и термодинамическим методом расчета изменения энтропии.

Задача 6 [ C.5.8.3. (изм.) ]. В сосуде объемом V₀ в состоянии теплового равновесия находятся N молекул при некоторой температуре T.
а) Что собой представляет наивероятнейшее распределение молекул по объему сосуда?
б) На сколько различаются энтропии наивероятнейшего состояния и состояния, в котором объем V, являющийся частью объема V₀, является пустым?
в) Найдите отношение вероятностей пребывания газа в наивероятнейшем состоянии и в состоянии с пустой частью объема V.
г) При каком значении объема V отношение вероятностей пребывания в состояниях, описанных в пунктах (б) и (в), равно 10-2? Если считать эту часть объема кубиком, то чему равен размер ребра?

Задача 7 [ C5.8.11* ]. Докажите, что на полупроницаемую перегородку, находящуюся в разбавленном растворе и не пропускающую молекулы растворенного вещества, нахо­дящегося по одну сторону перегородки, при темпера­туре Т действует избыточное давление P=nkБT, где n - число молекул растворенного вещества в единице объема раствора.

Решение. Предположим, что на полупроницаемую перегородку (мембрану) со стороны раствора действует большее давление, чем со стороны чистого растворителя. Пусть избыточное давление P1 - пока неизвестная величина. Для перемещения мембраны, при котором объем раствора уменьшится на DV, необходимо совершить работу
DA=PDV. (2)

Рассмотрим изотермический процесс. Уменьшение объема раствора - это переход системы из одного в другое состояние, осуществленный с помощью внешнего воздействия. Если внешнего воздействия нет, то состояние раствора, при котором молекулы растворенного вещества самопроизвольно займут объем на DV меньший, чем им предоставленный, менее вероятно, чем состояние, при котором молекулы занимают предоставленный им объем. Это означает, что энтропия растворенного вещества меньше при меньшем объеме. Разница энтропий данных состояний не зависит от способа перехода из одного в другое - самопроизвольный переход или переход под внешним воздействием (энтропия - функция состояния). При изотермическом уменьшении объема, занимаемого растворенным веществом, вещество будет отдавать тепло DQ. Причем
DQ=–DA. (3)

Таким образом, разность энтропий равна
(4)
Отношение вероятностей самопроизвольного пребывания вещества в меньшем и в большем объемах равно
(5)
С другой стороны, это же отношение вероятностей равно
(6)
Таким образом, получаем следующее уравнение:
(7)
Преобразуем левую часть уравнения
(8)
Как ранее уже было показано, при DV/V ®0
(9)
Следовательно, уравнение (6) можно переписать в виде:
(10)
Откуда получаем
(11)
Учитывая, что N/V=n, окончательно получаем искомое соотношение
P=n×kБ×T. (12)