Элементарная кубическая кривая Безье

 

Элементарная кубическая кривая Безье определяется четырьмя вершинами , , , (рис.5.4) и описывается уравнением:

, .

Рис. 5.4. Кривая Безье

 

Основные свойства кривых Безье:

- непрерывность заполнения сегмента между начальной и конечной точками;

- кривая всегда располагается внутри фигуры, образованной линиями, соединяющими контрольные точки;

- при наличии только двух контрольных точек сегмент представляет собой отрезок прямой линии;

- прямая линия образуется при коллинеарном (на одной прямой) размещении управляющих точек;

- кривая Безье симметрична, т.е. обмен местами между начальной и конечной точками (изменение направления траектории) не влияет на форму кривой;

- масштабирование и изменение пропорций кривой Безье не нарушает ее стабильности, так как она, с математической точки зрения, "аффинно инвариантна";

- изменение координат хотя бы одной из точек ведет к изменению формы всей кривой Безье;

- степень кривой всегда на единицу меньше числа опорных точек (т.е. при трех опорных точках форма кривой - парабола);

- размещение дополнительных опорных точек вблизи одной позиции увеличивает ее "вес" и приводит к приближению траектории кривой к данной позиции;

- окружность не может быть описана параметрическим уравнением кривой Безье;

- невозможно создать параллельные кривые Безье, за исключением тривиальных случаев (прямые линии и совпадающие кривые).

 

5.9. В-сплайны

 

По заданному массиву элементарная кубическая B-сплайновая кривая (рис. 5.5) определяется при помощи векторного уравнения, имеющего следующий вид:

, .

Рис. 5.5. Элементарная кубическая B-сплайновая кривая

 

Свойства кубической B-сплайновой кривой

1. Лежит в выпуклой оболочке, порожденной вершинами опорной ломанной, и, как правило, не проходит ни через одну из них.

2. Касательная в концевой точке параллельна отрезку , а в концевой точке - отрезку .