Линейные уравнения, содержащие знак абсолютной величины

Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a, если a больше или равно нулю и равна -a, если a меньше нуля:

Из определения следует, что для любого действительного числа a,

Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа равна большему из двух чисел a или -a.

 

Доказательство

 

1. Если число a положительно, то -a отрицательно, т. е. -a < 0 < a. Отсюда следует, что -a < a.

Например, число 5 положительно, тогда -5 - отрицательно и -5 < 0 < 5, отсюда -5 < 5.

В этом случае |a| = a, т. е. |a| совпадает с большим из двух чисел a и - a.

2. Если a отрицательно, тогда -a положительно и a < - a, т. е. большим числом является -a. По определению, в этом случае, |a| = -a - снова, равно большему из двух чисел -a и a.

Следствие1. Из теоремы следует, что |-a| = |a|.

В самом деле, как , так и равны большему из чисел -a и a, а значит равны между собой.

Следствие 2. Для любого действительного числа a справедливы неравенства

Умножая второе равенство на -1 (при этом знак неравенства изменится на противоположный), мы получим следующие неравенства: справедливые для любого действительного числа a. Объединяя последние два неравенства в одно, получаем:

Теорема 2. Абсолютная величина любого действительного числа a равна арифметическому квадратному корню из

 

В самом деле, если то, по определению модуля числа, будем иметь С другой стороны, при значит |a| =

Если a < 0, тогда |a| = -a и и в этом случае |a| =

Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять |a| на

Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета.

Если то на координатной прямой существует две точки a и -a, равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если a = 0, то на координатной прямой |a| изображается точкой 0 (см. рис. 8).

Рис. 8