Фокусы, эксцентриситет, директрисы и фокальный параметр эллипса

1. Фокусы и эксцентриситет эллипса. Сделаем из конца малой полуоси эллипса засечки радиусом, равным длине с большой полуоси (рис.); они пересекут большую ось в точках F и F находящихся по обе стороны от центра эллипса О на расстоянии с = . Эти точки называются фокусами эллипса. Длина с называется линейным эксцентриситетом эллипса, а отношение —численным эксцентриситетом или просто эксцентриситетом эллипса. Так как а — гипотенуза, а с — катет прямоугольного треугольника OBF , то с < а; следовательно, если b < а т. е. если эллипс не окружность, то 0 < < 1.

Если эллипс рассматривать, как получаемый сжатием окружности радиуса а к ее диаметру АС с коэффициентом сжатия k = , то при k = 1 мы имеем окружность, и а = b, с = 0, = 0; следовательно, фокусы F и F совпадают и лежат в центре этой окружности. Вооб­ще, так как b = ak, то c = a , следова­тельно, с тем больше, чем k меньше, т. е. чем эллипс более сжат. При сжатии эллипса к его большой оси АС фокусы симметрично расходятся от центра по большой оси и стремятся к ее концам A, С. Число k непремен­но больше нуля, хотя и может быть сколь угодно малым; иными словами, эллипс может сколь угодно приближаться к отрезку АС, но сам этот отрезок — уже не эллипс.

2. Директрисы эллипса. Прямые, проходящие параллельно малой оси эллипса по ту и другую ее стороны на расстояниях от центра, называются директрисами эллипса (см. рис). При k = 1, т. е. когда эллипс — окружность, = c = 0, и директрис нет. Если же k весьма близко к 1, т. е. эллипс мало отличается от окружности, то директрисы очень далеки; при неограниченном при­ближении k к единице директрисы неограниченно удаляются. При уменьшении k директрисы сближаются, и когда k весьма близко к нулю, т. е. весьма близко к 1, расстояние от директрис до центра эллипса весьма мало превышает длину а его большой полуоси.

3. Фокальный параметр эллипса. Фокальным параметром эллипса называется длина отрезка перпендикуляра к большой оси, восставленного в фокусе до пересечения с эллипсом. Его обозначают буквой р. Очевидно, р равно ординате точки эллипса, лежащей над фокусом. Абсцисса этой точки равна с.

Замечание. Сравнение директориальных свойств эллипса, гиперболы и параболы показывает, что все эти линии суть геометрические места точек, отношение расстояний от которых до заданной точки и заданной прямой, не проходящей через эту точку, постоянно. Если это отношение меньше единицы, то получается эллипс, если оно больше единицы —получается гипербола; в обоих случаях это отношение равно эксцентриситету. Случаю же, когда отношение равно единице, соответствует парабола. Поэтому мы будем считать, по определению, что для параболы эксцентриситет е равен 1. Таким образом, парабола находится как бы на границе между эллипсами и гиперболами: непрерывно изменяя отношение расстояний до фокуса и директрисы от значений, меньших единицы, до значений, больших единицы, мы перейдем от эллипсов через параболу к гиперболам (рис).