Полярные координаты в пространстве

В этой системе основными постоянными элементами являются точка 0 (полюс), ось Oz (полярная ось) и полуплоскость Ozx, примы­кающая к полярной оси Oz (полярная полу­плоскость).

Пусть М — какая-либо точка прост­ранства (рис.). Обозначим через длину радиуса-вектора ОМ, через — угол, составляемый ОМ с полярною осью Oz, и наконец, через — угол, составляемый полуплоскостью, примыкающей к оси Oz и, проходящей через точку М, с полярною полуплоскостью Oxz. Угол отсчитывается от полуплоскости Oxz в каком-либо определенном направлении, например по на­правлению движения часовой стрелки (для наблюдателя, стоя­щего вдоль Oz).

Ясно, что достаточно изменять в пределах (0, ), — в пре­делах (0, л) и — в пределах (0, 2л), чтобы получить все точки пространства.

Величины , и называются по­лярными (или сферическими) координа­тами точки М.

Найдем теперь формулы перехода от полярных координат к декартовым пря­моугольным.

Мы предполагаем (рис), что ось Oz совпадает с полярною осью. Ох расположена в полярной полуплоскости, а Оу перпендикулярна к обеим предыдущим осям и притом проведена в такую сторону, чтобы угол для полуплоскости Oyz был равен . Имеем, очевидно,

z = пр ОМ = cos .

Проектируя, далее, вектор ОМ на плоскость Оху, мы получим вектор (черт. 63) длины r

= = cos ( - ) = sin ,

который составляет с осью Ох угол . Если спроектировать этот вектор на Ох и Оу, то получим

х = | Оm | cos = sin cos ,

у = | Оm | sin = sin sin .

Итак,

х = sin cos , у = sin sin , z = cos . (1)

Обратно, зная х, у, z, можем определить , и .