Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Общий метод координат





Системы декартовых, полярных и полуполярных координат представляют собою только частные случаи осуществления общего метода координат; чтобы дать представление об этом методе, начнем со случая координат на плоскости.

Вообразим на плоскости (черт. 64) две системы линий (кривых или прямых), обладающих тем свойством, что через каждую точ­ку М плоскости проходит по одной и только по одной линии каж­дой системы и что кроме М эти две линии нигде не пересекаются. Например, мы можем за линии первой и второй систем принять прямые, параллельные соответственно осям Ох и Оу (черт. 65). Упомянутые линии назовем координатными линиями. Предполо­жим, далее, что каждая линия первой системы вполне характеризуется значением некоторого числа р, так что каждому значению р соответствует вполне определенная линия первой системы; пусть, аналогично, линии второй системы характеризуются значениями некоторого числа q. В приведенном выше примере можно принять Р = х, q = у, где х — отрезок, отсекаемый прямой первой системы на оси Ох, а у — отрезок, отсекаемый на оси Оу прямой второй системы; оба эти отрезка мы предполагаем снабженными знаками.

Пусть М есть какая-либо точка плоскости; через нее, по пред­положению, проходит по одной линии каждой системы. Числа р и q, характеризующие эти линии, очевидно, вполне определяют положе­ние точки М на плоскости и называются криволинейными коорди­натами точки М.

Если, в частности, за координатные линии мы примем прямые, параллельные двум данным осям Оу и Ох, и за р и q — числа х и у (см. выше), то получим уже известную нам систему необобщенных декартовых координат.

Чтобы прийти к полярным координатам, рассмотрим систему окружностей с общим центром О. Каждая из этих окружностей, которые мы примем за координатные линии первой системы, харак­теризуется вполне своим радиусом р. За линии второй системы примем полупрямые (лучи), исходящие из точки О; каждая из этих полупрямых вполне определяется углом , составляемым ею с неко­торой постоянной осью Ох на плоскости (углу ср мы, как всегда, приписываем определенный знак). Если за р и q принять соот­ветственно р и , то мы придем, очевидно, к полярной системе.

В качестве дальнейшего примера рассмотрим так называемую биполярную систему координат, которую можно определить сле­дующим образом. Возьмем на плоскости две точки О и О'. Примем в качестве линий первой системы окружности с центром в О, а в каче­стве линий второй системы — окружности с центром в О'. Пусть координатами р и q служат радиусы и ' окружностей первой и второй систем. Иначе говоря, примем за координаты какой-либо точки М расстояния этой точки до двух данных точек О и О'. Полу­ченная система координат называется биполярной. Заметим, впро­чем, что координатные линии этой системы не вполне удовлетво­ряют поставленным выше условиям; линии различных систем пересекаются, вообще говоря, в двух точках; поэтому совокуп­ности значений , ' соответствуют вообще не одна, а две точки. Чтобы устранить это неудобство, можно, например, ограничиться рассмотрением одной из двух частей плоскости, на которые она разбивается прямой OО'.

Заметим еще, что приведенные выше соображения применяются и к определению положения точки на любой поверхности (а не только на плоскости). Простейший пример — общеизвестные гео­графические координаты на сфере. Здесь координатными линиями являются меридианы и параллели, а координатами р и q — долгота и широта.

Предыдущие соображения непосредственно обобщаются на слу­чай пространства трех измерений.

Вообразим в пространстве три системы поверхностей, обла­дающих тем свойством, что через каждую точку проходит одна и только одна поверхность каждой системы и что эти три поверх­ности имеют только одну общую (всем трем) точку М. Пусть каждая из поверхностей первой системы характеризуется заданием зна­чений некоторой величины р; аналогично, пусть каждая из поверх­ностей второй и третьей систем характеризуется заданием неко­торой величины q, соответственно r. Рассматриваемые поверхности называются координатными поверхностями, а линии пересечения этих поверхностей — координатными линиями. Ясно, что через каждую точку пространства проходят три координатные линии.

Если дана точка М, то этим самым даны координатные поверх­ности, проходящие через М, т. е. даны значения величин р, q, r, и обратно. Величины р, q, r называются криволинейными коорди­натами точки М.

Декартовы координаты представляют собою частный случай криволинейных; в этом случае координатные поверхности суть плоскости, параллельные плоскостям координат; роль величин р, q, г выполняют отрезки х, у, r (снабженные знаками), отсекае­мые этими плоскостями на осях координат (считая от О), или (в случае обобщенных координат) пропорциональные им вели­чины. Координатные линии суть прямые, параллельные осям координат.







Дата добавления: 2015-06-15; просмотров: 444. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Лечебно-охранительный режим, его элементы и значение.   Терапевтическое воздействие на пациента подразумевает не только использование всех видов лечения, но и применение лечебно-охранительного режима – соблюдение условий поведения, способствующих выздоровлению...

Тема: Кинематика поступательного и вращательного движения. 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется со временем 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью...

Условия приобретения статуса индивидуального предпринимателя. В соответствии с п. 1 ст. 23 ГК РФ гражданин вправе заниматься предпринимательской деятельностью без образования юридического лица с момента государственной регистрации в качестве индивидуального предпринимателя. Каковы же условия такой регистрации и...

Растягивание костей и хрящей. Данные способы применимы в случае закрытых зон роста. Врачи-хирурги выяснили...

ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ИЗНОС ДЕТАЛЕЙ, И МЕТОДЫ СНИЖЕНИИ СКОРОСТИ ИЗНАШИВАНИЯ Кроме названных причин разрушений и износов, знание которых можно использовать в системе технического обслуживания и ремонта машин для повышения их долговечности, немаловажное значение имеют знания о причинах разрушения деталей в результате старения...

Различие эмпиризма и рационализма Родоначальником эмпиризма стал английский философ Ф. Бэкон. Основной тезис эмпиризма гласит: в разуме нет ничего такого...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия