Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Общий метод координат





Системы декартовых, полярных и полуполярных координат представляют собою только частные случаи осуществления общего метода координат; чтобы дать представление об этом методе, начнем со случая координат на плоскости.

Вообразим на плоскости (черт. 64) две системы линий (кривых или прямых), обладающих тем свойством, что через каждую точ­ку М плоскости проходит по одной и только по одной линии каж­дой системы и что кроме М эти две линии нигде не пересекаются. Например, мы можем за линии первой и второй систем принять прямые, параллельные соответственно осям Ох и Оу (черт. 65). Упомянутые линии назовем координатными линиями. Предполо­жим, далее, что каждая линия первой системы вполне характеризуется значением некоторого числа р, так что каждому значению р соответствует вполне определенная линия первой системы; пусть, аналогично, линии второй системы характеризуются значениями некоторого числа q. В приведенном выше примере можно принять Р = х, q = у, где х — отрезок, отсекаемый прямой первой системы на оси Ох, а у — отрезок, отсекаемый на оси Оу прямой второй системы; оба эти отрезка мы предполагаем снабженными знаками.

Пусть М есть какая-либо точка плоскости; через нее, по пред­положению, проходит по одной линии каждой системы. Числа р и q, характеризующие эти линии, очевидно, вполне определяют положе­ние точки М на плоскости и называются криволинейными коорди­натами точки М.

Если, в частности, за координатные линии мы примем прямые, параллельные двум данным осям Оу и Ох, и за р и q — числа х и у (см. выше), то получим уже известную нам систему необобщенных декартовых координат.

Чтобы прийти к полярным координатам, рассмотрим систему окружностей с общим центром О. Каждая из этих окружностей, которые мы примем за координатные линии первой системы, харак­теризуется вполне своим радиусом р. За линии второй системы примем полупрямые (лучи), исходящие из точки О; каждая из этих полупрямых вполне определяется углом , составляемым ею с неко­торой постоянной осью Ох на плоскости (углу ср мы, как всегда, приписываем определенный знак). Если за р и q принять соот­ветственно р и , то мы придем, очевидно, к полярной системе.

В качестве дальнейшего примера рассмотрим так называемую биполярную систему координат, которую можно определить сле­дующим образом. Возьмем на плоскости две точки О и О'. Примем в качестве линий первой системы окружности с центром в О, а в каче­стве линий второй системы — окружности с центром в О'. Пусть координатами р и q служат радиусы и ' окружностей первой и второй систем. Иначе говоря, примем за координаты какой-либо точки М расстояния этой точки до двух данных точек О и О'. Полу­ченная система координат называется биполярной. Заметим, впро­чем, что координатные линии этой системы не вполне удовлетво­ряют поставленным выше условиям; линии различных систем пересекаются, вообще говоря, в двух точках; поэтому совокуп­ности значений , ' соответствуют вообще не одна, а две точки. Чтобы устранить это неудобство, можно, например, ограничиться рассмотрением одной из двух частей плоскости, на которые она разбивается прямой OО'.

Заметим еще, что приведенные выше соображения применяются и к определению положения точки на любой поверхности (а не только на плоскости). Простейший пример — общеизвестные гео­графические координаты на сфере. Здесь координатными линиями являются меридианы и параллели, а координатами р и q — долгота и широта.

Предыдущие соображения непосредственно обобщаются на слу­чай пространства трех измерений.

Вообразим в пространстве три системы поверхностей, обла­дающих тем свойством, что через каждую точку проходит одна и только одна поверхность каждой системы и что эти три поверх­ности имеют только одну общую (всем трем) точку М. Пусть каждая из поверхностей первой системы характеризуется заданием зна­чений некоторой величины р; аналогично, пусть каждая из поверх­ностей второй и третьей систем характеризуется заданием неко­торой величины q, соответственно r. Рассматриваемые поверхности называются координатными поверхностями, а линии пересечения этих поверхностей — координатными линиями. Ясно, что через каждую точку пространства проходят три координатные линии.

Если дана точка М, то этим самым даны координатные поверх­ности, проходящие через М, т. е. даны значения величин р, q, r, и обратно. Величины р, q, r называются криволинейными коорди­натами точки М.

Декартовы координаты представляют собою частный случай криволинейных; в этом случае координатные поверхности суть плоскости, параллельные плоскостям координат; роль величин р, q, г выполняют отрезки х, у, r (снабженные знаками), отсекае­мые этими плоскостями на осях координат (считая от О), или (в случае обобщенных координат) пропорциональные им вели­чины. Координатные линии суть прямые, параллельные осям координат.







Дата добавления: 2015-06-15; просмотров: 444. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...


Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Типология суицида. Феномен суицида (самоубийство или попытка самоубийства) чаще всего связывается с представлением о психологическом кризисе личности...

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ МОЗГА ПОЗВОНОЧНЫХ Ихтиопсидный тип мозга характерен для низших позвоночных - рыб и амфибий...

Принципы, критерии и методы оценки и аттестации персонала   Аттестация персонала является одной их важнейших функций управления персоналом...

Дизартрии у детей Выделение клинических форм дизартрии у детей является в большой степени условным, так как у них крайне редко бывают локальные поражения мозга, с которыми связаны четко определенные синдромы двигательных нарушений...

Педагогическая структура процесса социализации Характеризуя социализацию как педагогический процессе, следует рассмотреть ее основные компоненты: цель, содержание, средства, функции субъекта и объекта...

Типовые ситуационные задачи. Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической   Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической нагрузке. Из медицинской книжки установлено, что он страдает врожденным пороком сердца....

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия