Цилиндрические поверхности

 

Через каждую точку линии L проведем прямые прямой P. В результате получим поверхность – цилиндрическая; при этом линию L называют направляющей этой цилиндрической поверхности, а прямые – образующими этой поверхности.

Выведем уравнение цилиндрической поверхности; для этого введем пространственную прямоугольную систему координат.

При этом выберем ось Oz параллельно образующим цилиндрической поверхности, а направляющую расположим в плоскости XOY.

 

Всякая точка будет лежать на поверхности ó когда ее проекция будет лежать на L т. М(х,у,z) принадлежит цилиндрической поверхности ó ее проекция точка N(х,у) L

Значит, точка N удовлетворяет уравнению (х,у) = 0.

(х,у) = 0.– уравнение данной цилиндрической поверхности.

Если цилиндрическая поверхность имеет образующие, параллельные оси Oz и направляющую с уравнением (х,у) = 0., то это уравнение является уравнением данной цилиндрической поверхности.

Аналогично, если цилиндрическая поверхность имеет образующую оси Ox, то ее уравнение имеет вид (у,z) = 0.. Если образующая оси Oy, то уравнение имеет вид (х,z) = 0.

Пример:

1)

x	y

 

2)

 

Поверхности 2-го порядка

 

Пример 1. Даны вершины треугольника АВС: А (–4;2), В (1; –3), С (5;7).

Составить уравнения: 1) стороны АВ, 2) медианы, проведенной из вершины С,

3) высоты, проведенной из вершины С.

Решение. 1)Уравнениестороны АВ находим из уравнения прямой, проходящей через две данные точки (4.8): .

Получим: , , .

Раскроем скобки и приведем к виду общего уравнения прямой: , , – это и есть уравнение стороны АВ.

2)Найдем уравнениемедианы СМ, где М – середина стороны АВ.

Из школьного курса математики известно, что координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов, т.е.

.

Поэтому , т.е. или .

Уравнениемедианы СМ находим из уравнения прямой, проходящей через две точки С и М: .

, , .

Раскроем скобки и приведем к виду общего уравнения прямой: , , , – это и есть уравнение медианы СМ.

3) Найдем уравнение высоты СК, где К – основание перпендикуляра, опущенного на сторону АВ. Используем уравнение прямой:

(4.1).

Найдем координаты вектора : . Вектор перпендикулярен высоте СК.

Тогда , , – это и есть уравнение высоты СК.

Пример 2. Даны уравнения сторон треугольника , , . Составить уравнение высоты, медианы, биссектрисы, проведенных из вершины В и найти их длины.

Решение. 1. Найдем координаты вершин треугольника, решив соответствующие системы уравнений сторон. Так, координаты вершины В определим из системы уравнений прямых AB и BC:

,

откуда x =–8, y=0, т.е. B (–8;0).

Аналогично находим координаты вершин А и С, решив системы уравнений прямых АВ и АС, АС и ВС: А (8; 12), С (–2; –8).

2. Пучок прямых, проходящих через точку В (–8; 0) имеет вид: .

Из уравнения прямой АС следует, что ее угловой коэффициент . На основании условия перпендикулярности двух прямых . Уравнение высоты BD примет вид или .

3. Координаты середины отрезка находим по формулам: .

Поэтому , т.е. F (3;2).

Угловой коэффициент .

Подставляя в формулу (4.7), получим уравнение медианы BF:

или .

Уравнение BF можно было получить и по формуле (4.8) как уравнение прямой, проходящей через две точки: В (–8;0) и F (3;2)).

4. Из уравнений прямых и следует, что они перпендикулярны, так как их угловые коэффициенты и обратны по величине и противоположны по знаку. Поэтому биссектриса BE образует с каждой из этих сторон угол . По формуле (4.9)

,

откуда . Теперь по формуле (4.3) получим уравнение биссектрисы ВЕ:

или .

Если не учитывать, что , то угловой коэффициент биссектрисы можно найти из равенства , т.е.

или .

Решая уравнения найдем два корня и , из которых условию задачи удовлетворяет первый корень).

5. Длину медианы BF найдем по формуле (3.5) расстояния между двумя точками А (–8;0) и F (3;2).

.

6. Для нахождения длинны биссектрисы BE найдем вначале координаты ее точки пересечения E со стороной AC, решив систему уравнений

,

откуда , т.е. .

Теперь по формуле (3.5) .

7. Длину высоты BD можно было найти аналогично тому, как находили длину биссектрисы, но проще это сделать по формуле (4.10) расстояния от точки B (–8;0) до прямой .

.

Пример 3. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М (5; 3; 4) и параллельной вектору

Решение. Воспользуемся каноническими уравнениями прямой.

Полагая в равенствах (4.16) получаем

Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Решение. Воспользуемся уравнением (4.10) плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору:

.▲

Пример 5. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

Решение. Запишем уравнение (4.10) плоскостей, проходящих через данную точку:

.

Нормальный вектор искомой плоскости совпадает с нормальным вектором данной плоскости; следовательно, A =5, B =-3, C =2 и уравнение искомой плоскости примет вид

.

Пример 6. Из точки на координатные оси опущены перпендикуляры. Составить уравнение плоскости, проходящей через их основания.

Решение. Основаниями перпендикуляров, опущенных на координатные плоскости, служат следующие точки: , , . Используя соотношение (4.14), запишем уравнение плоскости, проходящей через точки , , :

или .

Пример 7. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки и перпендикулярно плоскости .

Решение. В качестве нормального вектора N искомой плоскости можно взять вектор, перпендикулярный вектору и нормальному вектору данной плоскости. Поэтому за N примем векторное произведение и :

.

Остается воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через данную точку (например, А) перпендикулярно заданному вектору

, или .

Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной плоскостям и .

Решение. Очевидно, что в качестве нормального вектора N искомой плоскости можно взять векторное произведение нормальных векторов и данных плоскостей:

Теперь, используя уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору , получаем

, или .

Пример 9. Составить уравнения прямой, проходящей через точку и пересекающей ось Ох под прямым углом.

Решение. Так как прямая перпендикулярна оси Ох и пересекает ее, то она проходит через точку N (3; 0; 0). Составив уравнения прямой, проходящей через точки М и N, получаем

Пример 10. Дана плоскость и вне ее точка М (1; 1; 1). Найти точку N, симметричную точке М относительно данной плоскости.

Решение. Запишем уравнения любой прямой, проходящей через точку

Координаты направляющего вектора прямой, перпендикулярной плоскости, можно заменить координатами нормально вектора данной плоскости. Тогда уравнения прямой запишутся в виде

Найдем проекцию точки М на данную плоскость, решив совместно уравнения

Перепишем уравнения прямой в виде

Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнения плоскости, найдем t = 1, откуда х = 2, у = 2, z = –1.

Координаты симметричной точки найдутся из формул

Пример 4.11. Через прямую провести плоскость, параллельную прямой

Решение. Запишем уравнения первой из заданных прямых с помощью уравнений двух плоскостей, проецирующих ее соответственно на плоскости хОу и хОz:

Уравнение пучка плоскостей, проходящих через эту прямую, имеет вид

Используя условие параллельности прямой и плоскости, определим так, чтобы соответствующая плоскость пучка была параллельна второй из заданных прямых.

Имеем

Таким образом, искомая плоскость определяется уравнением