Параметрическая идентификация дискретной динамической модели методом наименьших квадратов
Одним из важных этапов синтеза оптимальной системы регулирования является разработка динамической модели ОУ, включающая:
Для этого используются соответственно методы структурной и параметрической идентификации. Параметрическая идентификация проверяется после выбора структуры объекта (порядка уравнения) на основе экспериментальных данных, значений входа и выхода, полученных по результатам снятия кривой разгона. Идентификация проводится для значений приращений, тоже и с величиной входного значения. Идентификация – это разработка дискретной динамической модели объекта регулирования на основе экспериментально-статистического подхода по экспериментальным данным входа и выхода. Рассмотрим использование МНК для параметрической идентификации конечно-разностного уравнения второго порядка без запаздывания: Критерий МНК имеет вид: Таким образом, из критерия метода наименьших квадратов следует, что необходимо найти такие параметры конечно-разностного уравнения, которые обеспечили бы минимальные суммы квадратов разностей между экспериментальными значениями выхода и рассчитанными по модели. При определении расчетных значений выхода ОУ при идентификации могут быть использованы экспериментальные значения выхода и входа на предыдущих тактах квантования, т.е. Полученная таким образом задача с точки зрения математики является задачей на поиск экстремума функционала Ф по параметрам a1,a2,b. Необходимое условие существование минимума является равенство нулю всех первых частных производных функционала Ф по неизвестным параметрам a1,a2,b, т.к. Ф является квадратичным функционалом, то необходимое условие является также и достаточным. Следовательно, возьмем частные производные и приравняем к нулю. После решим систему линейных уравнений относительно неизвестных a1,a2,b, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Для взятия производных используется следующие правила дифференцирования:
2. взятие производной от суммы 3. взятие производной от сложной функции Получим: Приравнивая к нулю полученные производные, раскрывая скобки, в слагаемых, содержащих параметры Выражения под знаком суммы, являются некоторыми коэффициентами, константами. Решая полученную систему линейных и однородных уравнений одним из известных аналитических методов (Гаусса, Крамара, матричный), находим искомые параметры Обобщая полученные выкладки для конечно-разностного уравнения n-го порядка получим: Перед использованием экспериментальных значений входа и выхода для идентификации необходимо сформировать массивы их экспериментальных значений с учетом приведенных начальных условий. Начальные условия будут иметь следующий вид: где
|