Затылование по логарифмической спирали

 

Уравнение логарифмической спирали (рис. 2.1) в полярных координатах имеет следующий вид:

, (2.1)

где - радиус-вектор, проведенный из начала координат в точку на кривой; и - постоянные коэффициенты; - основание натуральных логарифмов; - текущий полярный угол для данной точки кривой, в радианах.

При перемещении радиус-вектора по часовой стрелке от полярной оси угол положителен, против часовой – отрицателен. При значении полярного угла значение . Для точки «х» на кривой уравнение спирали:

Из дифференциальной геометрии известно, что угол между радиус-вектором и касательной для одной и той же точки плоской кривой определятся по формуле:

где - производная уравнения кривой по параметру .

Рис. 2.1.Логарифмическая спираль

Тогда для точки логарифмической спирали:

или

(2.2)

Таким образом, логарифмическая спираль, обеспечивающая постоянство заднего угла, является приемлемой кривой для затылования.

Затылованный зуб можно рассматривать состоящим из целого ряда кривых, уже не являющихся логарифмическими спиралями. Допустим, что через верхнюю часть зуба, т.е. через и (рис. 2.2) проходит расчетная логарифмическая спираль.

Рис. 2.2. Конхоида логарифмической спирали

Она стремится к центру фрезы, являющейся асимптотической точкой для спирали. Если через другую точку профиля , расположенную на величину ниже точки , провести логарифмическую спираль, то она тоже будет стремиться к центру фрезы. Тогда расстояния между спиралями будут все время уменьшаться: .

Однако на практике это не имеет места, так как при затыловании высота профиля зуба остается постоянной, что достигается постоянством формы затыловочного резца. Поэтому реально получается, что точная логарифмическая спираль проходит через одну или несколько точек профиля, а через другие точки профиля, лежащие ниже или выше расчетной, проходят другие кривые, называемые конхоидами (конхоиду можно построить по точкам, откладывая величину от кривой (рис. 2.3).

Из рисунка 2.3 видно, что

Уравнение спирали для точки :

Уравнение конхоиды для точки :

(2.3)

Угол между касательной и радиус-вектором точки :

(2.4)

Тогда задний угол для точки конхоиды можно определить по формуле:

(2.5)

где .

Из формулы (2.5) видно, что задние углы для точек конхоиды не являются постоянными величинами: чем ближе точка конхоиды лежит к центру фрезы (разность меньше), тем задний угол больше.

При конструировании фрезы необходимо знать величину затылования , отнесенную к началу следующего зуба (рис. 2.4).

Для определения величины необходимо разделить центральный угол , соответствующий угловому шагу пополам. Тогда

(2.6)

где - число зубьев;

или

(2.7)

Если принять за ось отсчета углов , то уравнения логарифмической спирали для начальной и конечной точек и имеют следующий вид соответственно:

(2.8)

 

Рис. 2.3. Задний угол на конхоиде логарифмической спирали

Рис. 2.4. Величина затылования

Величина затылования

(2.9)

так как или

Выражение в скобках есть двойной гиперболический синус угла , т.е.

а величина затылования

(2.10)

Так как минимальное число зубьев у фрез равно 6, а максимальное значение заднего угла - то а невелико, то можно принять, что

Тогда

(2.11)

Но (из уравнения спирали) или , где - радиус фрезы. Отсюда

(2.12)

Если отбросить , то получится приближенная формула

(2.13)

Для углов , применяемых на практике, разница между величиной , вычисленная по точной (2.12) и приближенной (2.13) формулам, не превышает 8 – 10%.