ЗАДАЧА 1

Дан плоский двухслойный конденсатор (рис. 1.1), состоящий из двух одинаковых электропроводных пластин, каждая из которых имеет площадь S. Между пластинами находятся два слоя диэлектрика с толщинами d ₁и d ₂ и с диэлектрическими проницаемостями e₁ и e_2. Пластины конденсатора подключены к постоянному напряжению U. Используя данные табл. 1.1, требуется:

1) получить (вывести, доказать, обосновать) каждое из приведенных ниже соотношений (1.1)-(1.6);

2) рассчитать и построить графики распределения напряженности
электрического поля Е, электрического смещения (индукции) D и
потенциала jв зависимости от координаты х (расчеты выполнить
для точек х = 0, d ₁/2, d ₁, d ₁ + d ₂/2, d ₁+ d ₂), при этом на осях указать
размерности соответствующих величин;

Таблица 1.1

Последняя, предпоследняя или третья от конца цифра шифра студента
	2 3		5 6
S,см 2		27 29		33 35
Значение S выбирается по	последней цифре шифра
d l, мм	0,5	0,6 0,7	0,8	0,9 1,0	1,1	1,2	1,3	1,4
d 2, мм	1,4	1,3 1,2	1,1	1,0 0,9	0,8	0,7	0,6	0,5
U, кB	0,1	0,2 0,3	0,4	0,5 0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
Значения d l , d 2 мм	и U выбираются по предпоследней цифре шифра
e1/e0		3 4		6 7
e2/e0		10 9		7 б
Значения e1/e0 и e2/e0 выбираются по третьей от конца цифре шифра

 

3) рассчитать емкость конденсатора С.

 

 

Рис. 1.1

 

Указания

Для решения этой задачи сначала необходимо проработать мате­риал, изложенный в [1], с. 7...9, 17, 27, 27, 28, пример 198, или [2], с. 211...212.

При решении этой задачи учитываем, что согласно уравнению Ла­пласа вектор напряженности Е электрического поля в пределах ка­ждого слоя диэлектрика является постоянным и имеет лишь одну составляющую Е_х по оси х, т. е.

(1.1)

Для определения Е ₁ и Е ₂можно составить систему из двух уравнений.

Первое уравнение соответствует граничному условию для вектора D на границе раздела двух диэлектрических слоев. Поскольку со­гласно (1.1)

(1.2)

то указанное граничное условие имеет вид

, (1.3)

где e₁ и e₂ определяются из табл. 1.1 с учетом значения электрической постоянной e₀ = 8,86 × 10^-12 Ф/м.

Второе уравнение связывает приложенное к конденсатору напря­жение (рис. 1.1) и напряженность (1.1):

. (1.4)

Подставив (1.1) в (1.4), после интегрирования получим уравнение, которое совместно с (1.3) позволяет определить напряженности Е ₁и Е ₂, а следовательно, с учетом (1.1)-(1.3) построить зависимости Е и D от х.

С помощью (1.1) определяется потенциал jкак функция от х:

. (1.5)

Емкость С двухслойного конденсатора может быть найдена как результат последовательного соединения емкостей С ₁и С ₂каждого из слоев, где

. (1.6)