Пример 1. Возьмем конкретные данные о затратах на стимулирование продаж по месяцам (Табл.2.1) и построим для них линейную модель.

Возьмем конкретные данные о затратах на стимулирование продаж по месяцам (Табл.2.1) и построим для них линейную модель.

Решение.

В табл. 2.1 приведены промежуточные вычисления и результаты использования линейной модели. В нижней строке записаны суммы значений в колонках.

Таблица 2.1

t	Факт y	t - tcp	(t - tcp)2	y - ycp	(t - tcp) (y-ycp)	Расчет yp	Отклонение Et
		-4 -3 -2 -1		-31 -22 -14 -5 -1		27,5 34,6 41,7 48,9 56,0 63,1 70,3 77,4 84,5	-2,5 -0,6 0,3 2,1 -1,0 3,9 2,7 -1,4 -3,5

Исходя из первых двух, легко определить: .

Параметры линейного уравнения рассчитаем по формулам:

,

где t_cp – среднее значение фактора времени;

y_cp – среднее значение исследуемого показателя.

Подставляя рассчитанные значения в вышеприведенную формулу, получаем:

,

.

 

Таким образом линейная модель имеет вид:

.

Последовательно подставляя в модель вместо фактора t его значения от 1 до N, получаем расчетные значения уровней y_p:

,

.

Вычислим отклонения расчетных значений от фактических наблюдений :

,

и т.д.

Отражает ли эта модель закономерность изменения исследуемого показателя, иными словами можно ли полученные значения y_p рассматривать как тенденцию? Для ответа на этот вопрос оценим качество модели, или ее адекватность исследуемому процессу. Последняя характеризуется выполнением определенных статистических свойств и точностью, т. е. степенью близости к фактическим данным. Модель считается хорошей со статистической точки зрения, если она адекватна и достаточно точна.

Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда близко или равно нулю, и если значения остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения. Результаты исследования (оценка) адекватности вышеприведенной модели отражены в табл. 2.2.

Таблица 2.2

t	Отклонение Et	Точка поворота	Et2	Et-Et-1	(Et-Et-1)2	Et x Et-1	Et: y x 100
	-2,5 -0,6 0,3 2,1 -1,0 3,9 2,7 -1,4 -3,5	- -	6,25 0,36 0,09 4,41 1,0 15,21 7,29 1,96 12,25	- 1,9 0,9 1,8 -3,1 -4,9 -1,2 -4,1 -2,1	- 3,61 0,81 3,24 9,61 24,01 1,44 16,81 4,41	- 1,50 -0,18 0,63 -2,1 -3,9 10,53 -3,78 4,9	10,0 1,76 0,71 4,12 1,82 2,82 3,70 1,84 4,32
			48,82	-	63,94	7,6	34,09

 

1. Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется с использованием t-критерия Стьюдента:

.

где — среднее значение уровней остаточного ряда;

S_Е — среднее квадратическое отклонение уровней остаточного ряда.

Значение берется по модулю, без учета знака:

,

Если ,то

.

Гипотеза отклоняется, если t > t _табл с заданным уровнем доверительной вероятности р.

При N = 9 и р = 70% t _табл. = 1,05

В рассматриваемом примере = 0, поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

2. Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. В соответствии с ним каждый уровень ряда сравнивается с двумя рядом стоящими. Если он больше или меньше их, то эта точка считается поворотной. Далее подсчитывается сумма поворотных точек " р ". В случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство:

.

Квадратные скобки здесь означают, что от результата вычислений берется целая часть числа. При N = 9 в правой части неравенства имеем:

.

В табл. 2.2.2. в третьей графе для первого и последнего наблюдения проставим прочерк, ноль — если точка неповоротная, и единицу, если она поворотная. В нашем примере количество поворотных точек равно трем (р= =3), неравенство (2.10) выполняется, следовательно, свойство случайности выполняется.

3. При проверке независимости (отсутствия автокорреляции) опреде-ляется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей. Это проверяется с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона, в соответствии с которым вычисляется коэффициент d

.

Вычисленная величина этого критерия сравнивается с двумя табличными уровнями (нижним d₁ и верхним d₂). Если d находится в интервале от нуля до d₁, то уровни ряда остатков сильно автокоррелированы, а модель неадекватна. Если его значение попадает в интервал от d₂ до 2, то уровни ряда являются независимыми. Если d превышает 2, то это свидетельствует об отрицательной корреляции и перед вводом в таблицу его величину надо преобразовать:

. В нашем примере .

Для линейной модели при 9 наблюдениях можно взять в качестве критических табличных уровней величины d₁=1,08 и d₂=1,36 (см. Приложение 2). Следовательно, расчетное значение d попало в зону между d₁ и d₂, поэтому однозначного вывода сделать нельзя и необходимо применение других критериев, например, первого коэффициента автокорреляции, который вычисляется по формуле

.

Если |r₁| > r_{табл .} (при N < 15, r _табл = 0,36), то присутствие в остаточном ряду существенной автокорреляции подтверждается. Для рассматриваемого примера r₁ = 7,60: 48,82 = 0,16. Следовательно, по этому критерию выполняется свойство независимости уровней остаточной компоненты.

4. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS-критерия

.

где E_max — максимальный уровень ряда остатков;

E_min — минимальный уровень ряда остатков;

S_E — среднее квадратическое отклонение.

Если значение этого критерия попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности, то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается. Для N = 10 и 5%-ного уровня значимости этот интервал равен (2,7—3,7)(см. Приложение 2).

В нашем примере: Е_mах - 3,9 и Е_min = -3,5, а размах 7,4.

.

Расчетное значение попадает в интервал. Следовательно, свойство нормальности распределения выполняется, что позволяет строить доверительный интервал прогноза.

Для характеристики точности воспользуемся средней относительной ошибкой:

Величина менее 5 % свидетельствует о хорошем уровне точности модели (ошибка до 15 % считается приемлемой).

Точечный прогноз на k шагов вперед получается путем подстановки в модель параметра t = N + 1,..., N + k. При прогнозировании на два шага имеем:

,

.

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

Верхняя граница прогноза = ,

Нижняя граница прогноза = .

Величина U_k для линейной модели имеет вид:

где S_T — среднее квадратическое отклонение от линии тренда.

Если в качестве линии тренда используется уравнение прямой, то:

или .

Для нашего примера

.

Коэффициент k_р является табличным значением t-статистики Стьюдента. Если исследователь задает уровень вероятности попадания прогнозируемой величины внутрь доверительного интервала равный 70 %, то k_р = 1,05, и, следовательно:

,

.

В табл. 2.6 сведены результаты расчетов прогнозных оценок по линейной модели по формуле (2.3.).

Таблица 2.3.

Время t	Шаг k	Прогноз Yp	Нижняя граница	Верхняя граница
		91,65 98,78	88,21 95,15	95,09 102,41

 

Если построенная модель адекватна, то с выбранной пользователем вероятностью можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития, прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный нижней и верхней границами. В нашем случае модель полностью адекватна исследуемому процессу и, следовательно, такое утверждение правомерно.