Анықтама 2. a векторына қосқанда қосындысы b болатын векторды b мен a векторының айырмасы деп атаймыз да былай белгілейміз b-a.

Егер a{a₁,a₂,a₃}, b{b₁,b₂,b₃} болса, онда b-a={b₁-a₁, b₂-a₂, b₃-a₃} болады.

Анықтама 3. a векторы мен λ санының көбейтіндісі деп ұзындығы |λ||a| болатын, ал бағыты λ>0 болса a векторының бағытымен бірдей болатын; ал λ<0 болса бағыты a векторына қарама қарсы болатын векторды айтады. Ол вектор λa арқылы белгіленеді.

Егер a{a₁,a₂,a₃} болса, онда λa={λa₁,λa₂,λa₃} болады.

Анықтама 4. Екі нольден ерекше a,b векторларының скалярлық көбейтіндісі деп олардың ұзындықтары мен екеуінің арасындағы бұрыштың косинусының көбейтіндісін айтады да (ab) деп белгілейді, яғни:

(ab)=|a||b|cos(a^b).

Егер a{a₁,a₂,a₃}, b{b₁,b₂,b₃} болса, онда

(ab)=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃

болады.

Скалярлық көбейтіндінің қасиеттері:

1. (ab)=(ba);

2. ((λa)b)=λ(ab);

3. (a(b+c))=(ab)+(ac);

4. (aa)=a²=|a|²;

5. (a^b)=90⁰→(ab)=0;

6. cos(a^b)=(ab)/(|a||b|)

7. Егер векторлардың координаталары пропорционал болатын болса, олардың бағыттары параллель (коллинеар) болады

Анықтама 5. Екі a, b вектордың векторлық көбейтіндісі деп төмендегі шарттарды қанағаттандыратын c векторын айтады:

1. a, b векторларының әрқайсысына перпендикуляр;

2. ұзындығы |a||b|sin(a^b) болады;

3. c векторының соңынан қарағанда a векторынан b векторына қысқа жолмен бұрылу сағат тіліне қарсы бағытта болады.

Векторлық көбейтінді [a,b] болмаса axb деп белгіленеді.

Векторлық көбейтіндінің геометриялық мағынасы. Векторлық көбейтіндінің нәтиежесінде алынатын вектордың ұзындығы көбейткіш векторлар қабырғалары болатын параллелограммның ауданына тең болады.

Векторлық көбейтіндінің қасиеттері:

1.

2.

3.

4.

Егер a{a₁,a₂,a₃}, b{b₁,b₂,b₃} болса, онда