Жазықтықтағы аналитикалық геометрияның элементтері

 

Тік бұрышты координаталар системасындағы нүктенің координаталары. Кесіндіні берілген қатынаста бөлу

 

Аналитикалық геометрия геометриялық бейнелерді алгебралық әдістермен зерттейді. Аналитикалық геометрияның негізгі құралы XVII ғасырда Декарт енгізген координаталар әдісі болып табылады.

О нүктесінде қиыласатын, кесінділерді өлшеу бірліктері бірдей болатын өзара перпендикуляр екі Ох, Оу түзуді тік бұрышты координаталар системасы деп атайды. Ох осін абсцисса осі деп, Оу осін ордината осі деп атайды.

Тік бұрышты координаталар системасын кейде Декарттық координаталар системасы деп те айтады. Оху координаталар системасында берілген М нүктесінің координаталары х, у (х, у сандары суретте көрсетілген кесіндінің ұзындықтары арқылы анықталады) сандары болса, онда ол нүктені М(х; у) деп белгілейміз. Мұнда х -нүктенің абсциссасы, у - нүктенің ординатасы.

Декарттық координаталар системасында М₁(х₁;у₁), М₂(х₂;у₂) нүктелері берілсін. Олардың ара қашықтығы төмендегі формуламен есептеледі:

Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте үшбұрыш анықтайтынын мектеп курсынан білеміз.

Теорема. Бір түзудің бойында жатпайтын кез-келген үш нүкте А(х₁;у₁),В(х₂;у₂), С(х₃;у₃) анықтап тұрған үшбұрыштың ауданы мына формуламен есептеледі:

 

(2) формуланы, есте сақтауға ыңғайлырақ мына түрде жазуға болады:

(сыртқы тік жақша абсолют шаманың белгісі).

Айталық, жазықтықта М₁М₂ кесіндісі берілсін, М осы кесіндінің кез-келген М₂ - ден басқа нүктесі болсын. М нүктесі М₁М₂ кесіндісін λ; қатынасында бөліп тұрсын, яғни:

М₁(х₁;у₁), М₂(х₂;у₂) нүктелері анықтап тұрған кесіндіні λ қатынасында бөлетін М(х;у) нүктесінің координатасын төмендегі формулалар арқылы есептеуге болады:

λ=1 болғанда кесіндінің ортасы болып тұрған нүктенің координатасын табатын формула шығады:

Кей жағдайларда Декарттық координаталар системасынан басқа координаталар системасын қолдану ыңғайлырақ болады. Сондай координаталар системасының бірі – полярлық координаталар системасы.

Полярлық координаталар системасында М нүктесі полюс деп аталатын О нүктеден қашықтығы (|ОМ|=ρ) мен ОМ кесіндінің полярлық ось деп аталатын ОЕ түзуімен жасайтын бұрышы φ; арқылы анықталады. ОМ кесіндісін нүктенің полярлық радиус-векторы деп атайды. Егер полярлық осьтен полярлық радиус-векторға қарай бұрылу бағыты сағат тіліне қарсы бағыт болса, онда бұл бұрыш оң таңбалы болады, кері бағытты теріс бағыт деп есептейді.

Нүктенің декарттық координаталары мен полярлық координаталары арасында мынадай байланыс бар (полярлық осьті абсцисса осі деп есептейміз, ал ордината осі полярлық осьпен оң бағытта 90 градус бұрыш жасайды).