Жазықтықтың теңдеуі

 

Кеңістікте Oxyz декарттық координаталар системасы берілсін. M₀(x₀,y₀,z₀) нүктесі мен N ={A,B,C} векторы берілген болсын. Мынадай теңдеуді қарастыралық:

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0 (1)

Бұл теңдеу M₀(x₀,y₀,z₀) нүктесі арқылы өтетін, N ={A,B,C} векторына перпендикуляр жазықтықты анықтайды. Осы теңдеудегі жақшаларды ашсақ Ax+By+Cz-(Ax₀+By₀+Cz₀)=0 аламыз. Соңғы теңдеудегі жақшадағы санды

- D деп белгілесек жазықтықтың теңдеуі мынадай түрде жазылады:

Ax+By+Cz+D=0. (2)

(2) теңдеу жазықтықтың жалпы теңдеуі деп аталынады. N ={A,B,C} векторын жазықтықтың нормаль векторы деп атайды.

Егер жазықтықтың жалпы теңдеуіндегі коэффициенттер нольден ерекше болса, онда теңдеуді – D санына бөліп, теңдеуді мына түрге келтіруге болады:

Мұнда a=-D/A, b=-D/B, c=-D/C. Бұл теңдеуді жазықтықтың кесінділік теңдеуі деп айтады. Мұндағы а, b, с сандары жазықтықтың сәйкес абсцисса, ордината, аппликата осьтерінен қиятын кесінділердің ұзындықтары.

Бізге П₁, П₂ жазықтықтары берілсін:

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0, A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 (4)

онда бұл жазықтықтардың қиылысуынан шыққан екі жақты бұрыштардың біреуі осы жазықтардың нормаль векторларының арасындағы бұрышқа тең болады, сондықтан ол бұрышты төмендегі формула арқылы есептеуге болады:

Егер П₁, П₂ жазықтықтары өзара параллель болса олардың нормаль векторлары коллинеар болады және керісінше де дұрыс. Сондықтан:

Бұл екі жазықтықтың параллельдік белгісі болады.

Егер П₁, П₂ жазықтықтары өзара перпендикуляр болса, олардың нормаль векторлары да перпендикуляр болады, демек олардың скалярлық көбейтіндісі нольге тең, яғни:

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0.

Бұл екі жазықтықтың перпендикулярлық белгісі.