Определение реакций в кинематических парах структурных групп

В соответствии с общим порядком силового анализа, описанным в п. 5.2 после расчета внешних сил составляют уравнения равновесия структурных групп, решением которых и определяются искомые реакции.

Изображения структурных групп здесь будут упрощенными, т.к. при формировании уравнений равновесия в общем виде мы будем оперировать значениями координат кинематических пар и точек приложения сил. Эти величины определяются методами кинематики, рассмотренными в гл. 2 и здесь важна не конфигурация звеньев, а знание расположения этих точек.

5.4.1. Аналитическое решение

При составлении уравнений равновесия будем предполагать, что все внешние силы, действующие на каждое i -е звено приведены к главному вектору F_i, приложенному в центре масс S i и главному моменту M_i. Индексация реакций: R_ij – реакция со стороны i -го звена на j -е. Индексация звеньев принята такой же, как при кинематическом анализе в главе 2, звенья структурных групп имеют номера 2 и 3; звено 1 – то, с которым звено 2 образует кинематическую пару “A”; звено 4 – то, с которым звено 3 образует кинематическую пару “C”.

Обратите внимание, для трехшарнирной и кулисных структурных групп решение будет получено сразу в НСК ОX₀Y₀, а для остальных – в НСК ОXY, повернутой так, чтобы ось X была параллельна выходному ползуну. Это связано с тем, что для этих групп уравнения равновесия в такой системе координат записываются и решаются намного проще, чем в НСК ОX₀Y₀, ну а преобразовать результаты из одной НСК в другую не составляет труда.

5.4.1.1. Трёхшарнирная структурная группа

Расчетная схема для структурной группы с тремя вращательными кинематическими парами представлена на рис. 5.4.

Уравнение равновесия структурной группы в целом в виде равенства нулю суммы всех сил, на нее действующих:

или в проекциях на оси НСК OX₀Y₀:

(5.4)

R_12x + F_2x + F_3x + R_43x = 0;

R_12y + F_2y + F_3y + R_43y = 0.

Равновесие шатуна 2 в виде равенства нулю суммы моментов всех сил относительно точки В:

–R_12x (y_A – y_B) + R_12y (x_A – x_B) – F_2x (y_S2 – y_B) + F_2y (x_S2 – x_B) = 0. (5.5)

Равновесие звена 3 в виде равенства нулю суммы моментов всех сил относительно точки В:

–R_43x (y_С – y_B) + R_43y (x_С – x_B) – F_3x (y_S3 – y_B) + F_3y (x_S3 – x_B) = 0. (5.6)

Уравнения (5.4), (5.5), (5.6) образуют линейную алгебраическую систему относительно неизвестных R_12x, R_12y, R_43x, R_43y, которая легко решается.

Для определения реакции R₂₃ в шарнире B теперь достаточно рассмотреть, равновесие звена 3:

(5.7)

R_23x = – F_3x – R_43x;

R_23y = – F_3y – R_43y.

Полные величины реакций:

5.4.1.2. Структурная группа "шатун – ползун";

Расчетная схема для структурной группы данного вида представлена на рис. 5.5. Реакции в направляющих ползуна зависят от его конструкции. Имеется два основных случая:

1. Реакции перемещаются по направляющим вместе с ползуном. В этом случае рабочие длины l ₁, l ₂ являются конструктивными параметрами (см. рис. 5.5а, 5.5в).

2. Реакции приложены в неподвижных опорах. В этом случае рабочие длины l ₁, l ₂ необходимо определять в процессе кинематического анализа механизма (см. рис. 5.5б).

Но в обоих случаях величины l ₁, l ₂ для силового расчета можно считать известными.

В данном случае решение удобно получить в НСК OXY, ось X которой параллельна оси ползуна. Уравнение равновесия структурной группы в целом в виде равенства нулю суммы всех сил, а нее действующих:

или в проекциях на оси НСК OXY:

(5.8)

R_12x + F_2x + F_3x = 0;

R_12y + F_2y + F_3y + R₄₃ ⁽¹⁾ + R₄₃ ⁽²⁾ = 0.

 

Из первого уравнения системы (3.8) сразу определяется составляющая R_12x. Равновесие шатуна 2 в виде равенства нулю суммы моментов всех сил относительно точки В:

–R_12x (y _A – y _B) + R_12y (x _A – x _B) – F_2x (y _S2 – y _B) + F_2y (x _S2 – x _B) = 0. (5.9)

Отсюда находим R_12y.

Для определения реакций R₄₃⁽¹⁾, R₄₃⁽²⁾ составим систему уравнений, первое из которых отражает равновесие ползуна 3 в виде равенства нулю суммы проекций всех сил на ось Y, а второе – равенство нулю суммы моментов всех сил относительно точки В:

(5.10)

F_3y + R₄₃⁽¹⁾ + R₄₃⁽²⁾ = 0;

–R₄₃⁽¹⁾ l ₁ + R₄₃⁽²⁾ l ₂ – F_3x (y _S3 – y _B) + F_3y (x _S3 – x _B) = 0.

Длины l ₁, l ₂ надо подставлять с учетом знака, на рис. 5.5 показаны направления, которые считаются положительными.

Для определения реакции R₃₂ в шарнире В достаточно рассмотреть, равновесие шатуна 2 в виде равенства нулю суммы всех сил, на него действующих:

(5.11)

R_32x = – F_2x – R_12x;

R_32y = – F_2y – R_12y.

Полные величины реакций:

 

5.4.1.3. Кулисные структурные группы

Расчетная схема кулисной структурной группы первого вида представлена на рис. 5.6.

Для определения реакций применим следующий прием. Сначала для ползуна “B” найдем не реальные реакции R₂₃⁽¹⁾, R₂₃⁽²⁾ (см. рис. 5.7) а условные, приведенные к центру ползуна: реакцию R₂₃^п и соответствующий реактивный момент M₂₃^п.

Запишем условия равновесия звена 2 в виде равенства нулю суммы моментов относительно точки “А” всех сил, на него действующих и равновесия кулисы 3 в виде равенства нулю суммы моментов всех сил относительно точки “С” и учитывая, что R₂₃^п = – R₃₂^п, M₂₃^п = – M₃₂^п

(5.12)

–F_2x (y _S2 – y _A) + F_2y (x _S2 – x _A) + M₂ – M₂₃^п ± R₂₃^п l ₂₁ = 0;

–F_3x (y _S3 – y _С) + F_3y (x _S3 – x _С) + M₃ + M₂₃^п ± R₂₃^п l _BD = 0,

где: l ₂₁ – смещение шарнира “А” вдоль оси кулисы,

l _BD – длина вектора, определяющего положение ползуна на кулисе.

Из системы (5.12) определяем R₂₃^п, M₂₃ ^п.

Равновесие звена 2 в виде равенства нулю суммы всех сил, на него действующих:

(5.13)

R_12x + F_2x + F_3x – R₂₃^п sin j₃ = 0,

R_12y + F_2y + F_3y + R₂₃^п cos j₃ = 0,

где: j₃ – угол, определяющий положение оси кулисы (см. рис. 2.11).

Из системы (5.13) находим R_12x , R_12y.

Равновесие структурной группы в целом в виде равенства нулю суммы всех сил, на нее действующих:

или в проекциях на оси системы OX₀Y₀:

(5.14)

R_12x + F_2x + F_3x + R_43x = 0;

R_12y + F_2y + F_3y + R_43y = 0.

Отсюда находим R_43x, R_43y.

Теперь по значениям R₃₂^п, M₃₂^п при известных размерах ползуна l ₁, l ₂ (рис. 5.7) не сложно найти величины реальных реакций в ползуне “В” R₃₂⁽¹⁾, R₃₂⁽²⁾ из следующей системы уравнений:

(5.15)

R₃₂ ⁽¹⁾ + R₃₂ ⁽²⁾ = R₃₂ ^п,

– R₃₂ ⁽¹⁾ l ₁ + R₃₂ ⁽²⁾ l ₂ = M₃₂ ^п.

Реакции в кинематических парах кулисной структурной группы второго вида (рис. 5.8) рассчитываются полностью аналогично предыдущему, отличается только индексация звеньев и некоторые знаки.

Условия равновесия звена 2 в виде равенства нулю суммы моментов относительно точки “А” и равновесия звена 3 в виде равенства нулю суммы моментов всех сил относительно точки “С”:

(5.16)

–F_2x (y _S2 – y _A) + F_2y (x _S2 – x _A) + M₂ – M₂₃^п ± R₂₃^п l ₂₁ = 0,

–F_3x (y _S3 – y _С) + F_3y (x _S3 – x _С) + M₃ + M₂₃^п ± R₂₃^п l _AB = 0.

где: l ₂₁ – смещение шарнира “А” вдоль оси звена 3,

l _AB – длина вектора, определяющего положение ползуна.

Из системы (5.16) определяем R₂₃^п, M₂₃ ^п.

 

Равновесие звена 2 в виде равенства нулю суммы сил, на него действующих:

(5.17)

R_42x + F_2x + F_3x – R₂₃^п sin j₃ = 0,

R_42y + F_2y + F_3y + R₂₃^п cos j₃ = 0.

где: j₃ – угол, определяющий положение оси звена 3 (см. рис. 2.12).

Из системы (5.17) находим R_42x, R_42y.

Равновесие структурной группы в целом в виде равенства нулю суммы всех сил, на нее действующих в проекциях на оси НСК OX₀Y₀:

(5.18)

R_42x + F_2x + F_3x + R_13x = 0;

R_42y + F_2y + F_3y + R_13y = 0.

Отсюда находим R_13x, R_13y. После чего из уравнений вида (5.15) получаем реальные реакции в ползуне “В” R₃₂⁽¹⁾, R₃₂⁽²⁾.

5.4.1.4. Структурная группа типа "шарнир – ползун – ползун";

Расчетная схема для структурной группы данного вида представлена на рис. 5.9. Реакции в направляющих ползунов зависят от их конструкции, возможные варианты описаны в п. 5.4.1.2.

Для определения реакций в ползуне “B” применим прием, описанный в п. 5.4.1.3 для кулисных структурных групп. Сначала для ползуна “B” найдем условные реакции, приведенные к центру ползуна: R₃₂^п и соответствующий реактивный момент M₃₂^п. Решение удобно получить в НСК OXY, ось X которой параллельна оси ползуна “С”.

Уравнение равновесия структурной группы в виде равенства нулю суммы проекций всех сил, на ось X:

R_12x + F_2x + F_3x = 0; (5.19)

отсюда сразу определяется составляющая R_12x.

Условия равновесия звена 2 в виде равенства нулю суммы всех сил, на него действующих:

(5.20)

R_12x + F_2x + R₃₂^п sin d = 0;

R_12y + F_2y – R₃₂^п cos d = 0,

 

где: d – угол между осями ползунов (см. рис. 5.9).

Из системы (5.20) находим R₃₂^п, R_12y.

Условия равновесия звена 2 в виде равенства нулю суммы моментов всех сил относительно центра ползуна “В” позволяет определить M₃₂^п :

 

–R_12x (y _A – y _B) + R_12y (x _A – x _B) – F_3x (y _S3 – y _B) + F_3y (x _S3 – x _B) + M₃₂^п = 0 (5.21)

 

И, наконец, из системы (5.22), образованной условиями равновесия структурной группы в виде равенства нулю суммы проекций всех сил, на ось Y и суммы моментов относительно центра ползуна “С” находим реакции в ползуне “С” R₄₃⁽¹⁾, R₄₃⁽²⁾.

R_12y + F_2y + F_3y + R₄₃⁽¹⁾ + R₄₃⁽²⁾ = 0,

–R_12x (y _A – y _С) + R_12y (x _A – x _С) – F_2x (y _S2 – y _С) + F_2y (x _S2 – x _С) + M₂ –

– F_3x (y _S3 – y _С) + F_3y(x _S3 – x _С) + M₃ + R₄₃⁽¹⁾ l ₁ + R₄₃⁽²⁾ l ₂ = 0. (5.22)

 

Реальные реакции в ползуне “В” R₃₂⁽¹⁾, R₃₂⁽²⁾ получаем из уравнений вида (5.15).

5.4.1.5. Структурная группа "ползун – шарнир – ползун";

Расчетная схема для структурной группы данного вида представлена на рис. 5.10. Реакции в направляющих ползунов зависят от их конструкции, возможные варианты описаны в п. 5.4.1.2.

И здесь для определения реакций в ползуне “А” применим прием, описанный в п. 5.4.1.3 для кулисных структурных групп. Сначала найдем условные реакции, приведенные к центру ползуна: R₁₂^п и соответствующий реактивный момент M₁₂^п.

В данном случае решение удобно получить в НСК OXY, ось X которой параллельна оси ползуна “С”.

Уравнение равновесия звена 3 в виде равенства нулю суммы проекций всех сил, на ось X дает составляющую реакции в шарнире “В”:

R_23x = –F_3x.

Система (5.24), составленная из условий равновесия звена 2 позволяет определить R_23y, R₁₂^п, M₁₂^п.

–R₁₂^п sin j₂+ F_2x + R_23x = 0,

R₁₂^п cos j₂+ F_2y + R_23y = 0, (5.24)

±R₁₂^п l _BD + M₁₂^п – F_2x (y _S2 – y _B) + F_2y (x _S2 – x _B) = 0.

 

Из системы (5.26), образованной условиями равновесия звена 3 в виде равенства нулю суммы проекций всех сил, на ось Y и суммы моментов относительно центра ползуна “С” находим реакции в ползуне “С” R₄₃⁽¹⁾, R₄₃⁽²⁾.

R_23y + F_3y + R₄₃⁽¹⁾ + R₄₃⁽²⁾ = 0,

–R_23x (y _B – y _С) + R_23y (x _B – x _С) – F_3x (y _S3 – y _С) + F_3y(x _S3 – x _С) + M₃ +

+ R₄₃⁽¹⁾ l ₁ + R₄₃⁽²⁾ l ₂ = 0, (5.26)

Реальные реакции в ползуне “A” R₁₂⁽¹⁾, R₁₂⁽²⁾ получаем из уравнений вида (5.15).

5.4.2. Графо-аналитическое решение задачи силового расчёта

Рассмотрим случай, характерный для курсовых проектов, когда силы тяжести и инерции пренебрежимо малы по сравнению с усилием R₄₃. Расчетная схема представлена на рис. 5.11а. Реакция R₃₄ была найдена при расчете предыдущей структурной группы и .

Назовем нормальным – направление вдоль оси звена, касательным – перпендикулярно оси. На рис. 5.11а показаны нормальные n₂, n₃ и касательные t₂, t₃ направления для звеньев 2 и 3. Реакции в шарнире A₁ – R₁₂ и в шарнире C₁ – R₆₃, неизвестные как по величине, так и по направлению, будем искать в проекциях на эти направления.

 

Уравнение равновесия всей структурной группы в целом:

(5.27)

 

Здесь четыре неизвестных . Касательные составляющие найдем, рассматривая равновесия отдельных звеньев.

Равновесие звена 2 в виде равенства нулю суммы всех моментов относительно точки B₁:

R₁₂^t× l _AB = 0

показывает, что при принятых допущениях R₁₂^t = 0.

Равновесие звена 3 в виде равенства нулю суммы всех моментов относительно точки B₁:

R₆₃^t× l _BC + R₄₃×h₄₃ = 0

позволяет определить величину R₆₃^t. Длину плеча h₄₃ можно замерить на выполненной в масштабе расчетной схеме.

Теперь уравнение равновесия (5.27) можно решить графически путем построения плана сил (см. рис. 5.11б).

План сил представляет собой графическое изображение уравнения равновесия. Сначала в выбранном масштабе K_F отложите известные силы R₄₃ и R₆₃^t. Потом замкните план, проведя линии действия R₆₃ⁿ и R₁₂ⁿ.

Примечание. Силовой расчет этой структурной группы рассмотрен на примере схемы 3 главного механизма шестизвенного пресса. Для схемы 1, в которой совпадают точки B₁ и A₂ R₆₃^t = 0 и план сил упрощается до треугольника. В схеме 2 точки B₁ и A₂ не совпадают, но расположены иначе, R₆₃^t ¹ 0 и все выкладки аналогичны, но план сил имеет несколько другую конфигурацию.