Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Основные теоремы о непрерывных функциях




Теорема 5.1. Сумма конечного числа непрерывных функций, определенных на некотором множестве Х, есть функция непрерывная.

Теорема 5.2. Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

С л е д с т в и е. Целый полином Р(х)=а01х+... +аnхn есть функция непрерывная.

Теорема 5.3. Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная во всех точках, в которых делитель отличен от нуля.

Теорема 5.4. Непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная.

Теорема 5.5. Если y = f(x) непрерывна и строго монотонна на промежутке <а,b> , то существует обратная функция х = j(y), определенная на промежутке < f(a), f(b) >, причем последняя также монотонна и непрерывна в том же смысле.

Пример.Рассмотреть обратные функции к данным:

а) ; б) .

Рассмотрим теперь непрерывность функции на множествах.

Определение 5.5. Пусть f определена на множестве Е Ì Rn . Функция f называется непрерывной в точке х(0) Î Е, если " e>0 $ d=d(e) :

" х Î Х , удовлетворяющих условию r(х, х(0)) < d выполняется неравенство

çf(x)- f(x(0)) ç < e .

Примем без доказательства ряд простых, но важных теорем.

Теорема 5.6. (Кантора) Функция, непрерывная на ограниченном замкнутом множестве, является равномерно непрерывной.

Определение 5.6. Функция у = f(х), определенная на множестве Е Ì Rn называется равномерно непрерывной на Е, если

" e > 0 $ d = d(e)>0 : " x/, x// Î E

удовлетворяющих условию r(x/,x//)<d будет выполнено неравенство çf(x/) - f(x//) ç< e .

Теорема 5.7. (Вейерштрасса) Всякая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке как наибольшее, так и наименьшее значение.

Теорема 5.8. (Коши) Если f - непрерывна на [a, b] и f(b) = A, f(b) = B, то

" A < C < B $ x Î [a, b] : f(x) = C.

С л е д с т в и е. Если f - непрерывна на [a, b], а на концах отрезка принимает значения переменных знаков (является знакопеременной), то $ точка х0 Î [a,b] : f(x0) = 0.

 

 







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 100. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.004 сек.) русская версия | украинская версия