Счисление в подвижной относительно Земли прямоугольной системе координат

При счислении в подвижной относительно Земли системе коорди­нат непосредственно определяется положение выбранного объекта F относительно ЛА.

Пусть начало отсчета подвижной системы координат Охуz - на ЛА. Ось у направим вертикально вверх (рис. 6.3). Положение объ­екта F относительно ЛА определим вектором дальности . В об­щем случае ЛА движется относительно Земли со скоростью , а объект F - со скоростью (рис. 6.3). Угловую скорость си­стемы отсчета Охуz относительно Земли обозначим .

Выразим скорость точки F через относительную и пере­носную скорости. Получим

(6.6)

где - относительная (локальная) производная вектора , равная скорости точки F относительно подвижной системы отсчета Охуz; - переносная скорость, возникающая вследствие по­ступательного.движения системы отсчета ;

- переносная скорость, возникающая вследствие вращения системы отсчета Охуz с угловой скоростью .

 

 

 

Рис. 6.3. Относительное движение объекта

Рис. 6.4. Приведенная путевая скорость ЛА

 

Из уравнения (6.6) находим относительную скорость точки F:

. (6.7)

Вектор

(6.8)

равен скорости движения ЛА (точки 0) относительно движущегося объекта F (рис. 6.4), которую называют приведенной путевой ско­ростью ЛА.

Спроектируем равенство (6.7) на оси координат. Учитывая выра­жение (6.8), находим (6.9)

где - проекции относительной скорости точки F на оси .

Интегрируя первое и третье уравнения (6.9) по времени, полу­чим формулы для счисления в подвижной системе прямоугольных коор­динат :

(6.10)

Для вычисления проекций относительной скорости точ­ки F необходимо располагать данными о проекциях угловой скорос­ти системы отсчета относительно Земли. Такие данные можно получить различными способами. Для этой цели можно приме­нять двухстепенные гироскопы. Однако следует иметь в виду, что скоростные гироскопы обеспечивают измерение составляющих абсолют­ной угловой скорости. Чтобы получить значения составляющих относительно угловой скорости , необходимо, строго говоря, из показаний гироскопов вычесть значения проекций угловой скорости Земли на оси координат х, у, z. В противном случае будут иметь место методические ошибки, допустимость кото­рых следует оценивать в каждом конкретном случае.

Рис. 6.5. Составляющие угловой скорости системы координат

 

 

Возможен и другой способ получения данных о проекции уг­ловой скорости системы от­счета Охуz относительно Земли. Вращение подвижной системы отсче­та Охуz относительно Земли про­исходит по следующим причинам. Во-первых, вследствие изменения угла ǽ между осью х и плос­костью меридиана (рис. 6.5) си­стема отсчета Охуz, вращается с угловой скоростью ǽ, причем при положительном направлении вращения вектор угловой скорос­ти ǽ направлен в сторону, про­тивоположную оси у.

Во-вторых, при неизменном угле ǽ система отсчета Охуz в процессе движения ЛА над сфероидальной поверхностью Земли будет вращаться с дополнительной угловой скоростью . Следователь­но,

Производную ǽ можно определить путем дифференцирования угла ǽ, образованного осью х с плоскостью меридиана.

Вследствие кривизны Земли система прямоугольных координат Охуz как было установлено в разд. 2, вращается вокруг оси, па­раллельной оси Земли (рис. 6.5), с угловой скоростью

где W_rop - горизонтальная составляющая путевой скорости; П - пу­тевой угол; и вокруг оси, перпендикулярной плоскости меридиана, с угловой скоростью

Вектор угловой скорости

поэтому

.

Проектируя вектор на оси х,у,z, получим искомые значения проекций .

Следует учитывать, что проекции вектора зависят от широты точки, в которой в данный момент нахо­дится ЛА. Это существенно усложняет решение задачи, так как при разложении вектора предварительно необходимо находить теку­щее значение широты .

При счислении координат в ограниченной области кривизну Зем­ли можно не учитывать, считая и . В таком слу­чае вектор будет направлен в сторону, противоположную оси у. Поэтому ,

 

При таком допущении формулы (6.9) существенно упрощаются, причем отпадает необходимость определять широту .

Формулы упростятся еще больше, если систему отсчета ориенти­ровать так, чтобы угол ǽ был постоянным, т.е. если перейти к невращающейся относительно вертикальной оси системе координат. В таком случае будем иметь .

Практически неподвижную прямоугольную систему координат це­лесообразно применять только для счисления в ограниченной облас­ти, в пределах которой можно не учитывать кривизну Земли.