Модель випадкового пошуку із шумом

У моделі випадкового блукання із шумом є сума стохастичного тренда й компонента білого шуму. Формально ця третя модель представляється як

(5)

(6)

де - процес білого шуму з дисперсією рівної й і незалежно розподілені для всіх t і S, тобто .

Легко перевірити, що послідовність являє собою стохастичний тренд. При відомій початковій умові , рішення для є

Поєднуючи це вираження з білим шумом, маємо:

Тепер допустимо, що в момент t=0 значення задається , так що рішення для моделі випадкового блукання із шумом може бути записане як

(7)

Ключові властивості цієї моделі такі:

1. Безумовна середня послідовності константа:

і прогноз на S періодів:

Помітимо, що наступні один за іншим збурювання мають постійний вплив на . Отже, є стохастичний тренд .

2. Послідовність має компоненту чистого шуму, і послідовність має тільки тимчасовий ефект із позиції впливу на . Поточна реалізація впливає тільки на , але не на наступні .

3. Дисперсія не постійна:

Як і в інших моделях зі стохастичним трендом, дисперсія в міру збільшення t росте нескінченно. Наявність компонента білого шуму означає, що коефіцієнт кореляції між і менше, ніж для чистої моделі випадкового блукання.

Т.к. і незалежні послідовності білого шуму,

і коефіцієнт кореляції

Порівняння з (2) - для моделі чисто випадкового блукання – підтверджує, що автокореляції для моделі випадкового блукання із шумом завжди менше для .

ФУНКЦІЯ ПРОГНОЗУ

Нехай відомі вибіркові значення

Взявши умовне математичне очікування, одержуємо

Таким чином, модель випадкового блукання із шумом містить і тренд, і іррегулярний компонент. Звичайно, має часовий ефект тільки на ; прогноз - поточне значення зменшене на . Постійний компонент - стохастичний тренд .