Визначення одиничних корінь методом Дикі-Фулера

Дикі й Фулер (1979,1981) розглядають процес AR(1)

(2)

Нульова гіпотеза .

Проти альтернативної .

Т.е. нульова гіпотеза припускає, що нестаціонарений будучи випадковим блуканням. Відповідно до альтернативної гіпотези, - стаціонарний процес AR(1) [або інтегрований порядку нуль –I(0)], не розглядається.

На перший погляд, можна побудувати рівняння авторегресії й перевірити гіпотезу за критерієм Стьюдента. Але, як ми вже відзначали, процедура тестування, що базується на застосуванні методу найменших квадратів, до нестаціонарного ряду (а нестаціонарений, якщо ), може вводити в оману, показуючи значимість фактора в той час, як він таким не є.

Процедура тестування повинна базуватися на такій моделі, що буде стаціонарний при прийнятті .

Дикі й Фулер запропонували прийнятний і простий метод тестування на порядок інтеграції, що бере за основу еквівалентне рівняння регресії:

(3)

де

[дійсно: ].

І строго говорячи, DF-Тест у якості приймає твердження:

Звідси його назва - unit root test - тест на одиничний корінь.

Рівняння (3) може бути представлене ще в такий спосіб:

Якщо в рівнянні (2) , то в рівнянні (3) (негативно) – означає стаціонарність процесу.

Тест DF складається в перевірці заперечності . Відхилення нульової гіпотези () на користь альтернативної () означає, що й процес – I(0)

Якщо - I(1), як припускає нульова гіпотеза, рівняння (3) представляє регресію I(0) -–змінної по I(1)-змінної.. Не дивно, що -статистика має нестандартний розподіл. Для її використання потрібні спеціальні таблиці. Такі таблиці були отримані емпірично, з використанням методу Монте-Карло. За основу був узятий процес AR(1) с.

В силу емпіричного скоріше, ніж теоретичного, характеру таблиць, вони містять елемент невизначеності – дається не одне, а два теоретичні значення – верхнє й нижнє. Якщо розрахункове значення -статистики менше, ніж нижнє припустиме критичне значення, то гіпотеза (нульова гіпотеза про одиничний корінь) відкидається, і приймається стаціонарність (цифри в таблиці маються на увазі негативними). Якщо ж розрахункове значення -статистики більше верхнього припустимого значення критичної величини, то відкинуто. Між верхніми й нижніми межами зона невизначеності.

Тест Дикі-Фулера може бути використаний для перевірки стаціонарності процесів, породжених випадковим блуканням із дрейфом, тобто шляхом перевірки рівняння:

(4)

Техніка перевірки аналогічна. Еквівалентне (4) рівняння:

Але з обліком того, що розподіл t-статистики для в цьому випадку інше, - позначимо його через - в основі лежить процес випадкового блукання із дрейфом, використовуються інші критичні значення.

Ще одна модифікація рівняння DF - включення лінійного детермінованого тренда.

(5)

або

Це рівняння дозволяє перевірити відсутність стохастичного тренда () і існування детермінованого тренда (). Для цього тесту складені свої таблиці критичних значень - .

Отже, якщо , те

· (2) – стаціонарний процес AR(1) з нульовим середнім,

· (4) – стаціонарний процес AR(1) із середнім ,

· (5) – стаціонарний процес AR(1) навколо лінійного тренда, якщо .

 

ü Якщо дані генеруються відповідно до процесу (2) з , то можна сказати, що - інтегрований процес першого порядку I(1) і є випадковим блуканням без дрейфу.

ü Якщо дані отримані згідно (4) з і ненульовим , тоді знову таки I(1), але є випадковим блуканням із дрейфом.

ü Якщо дані генеруються процесом (5) з і ненульовим , то - випадкове блукання уздовж ненульового тимчасового тренда.

Якщо є підстави припускати, що розглянута змінна нестаціонарна й має тренд, то почати тестування рекомендується з регресії (5) і відповідного тесту .

Недолік тесту DF полягає в тім, що тест Дикі-Фулера має обмеження:

1. Припущення про те, що змінна треба авторегресійному процесу першого порядку;

2. Помилки нескорельовані.

Дикі й Фулер запропонували використовувати в якості додаткових (екзогенних змінних) регресорів змінну в лівій частині рівняння, узяту з різними лагами (лаги першої різниці).

Модифікований тест DF передбачає авторегресійні процеси більше високих порядків і зветься додаткового (розширеного) тесту Дикі-Фулера (AFD – augment Dickey-Fuller test).

Базові рівняння приймають наступний вид:

Додаткова авторегресійна компонента вводиться для того, щоб забрати автокореляцію залишків, до якої чутливий DF-Тест. Розподіл тестів для цих рівнянь асимптотично збігаються з відповідними тестами DF і використовують ті ж таблиці.