Модель випадкового пошуку

Розглянемо модель

, (1)

що є часткою случаємо AR(1)-процесу ().

Якщо - відома початкова умова, загальне рішення рівняння може бути представлене у вигляді так званої моделі випадкового блукання (random walk model)

взявши математичні очікування, ми одержуємо:

т.п. середнє значення випадкового блукання дорівнює константі. Однак всі стохастичні зміни (перегони) мають неослабний вплив на послідовність . Якщо відомі перші t реалізацій процесу (послідовності) , умовне математичне очікування дорівнює

Аналогічно, умовне математичне очікування (для будь-яких S>0)

так що

Умовний математичні очікування для всіх значень (S>0) рівні .

Однак коливання (перегони) (мають) впливають на послідовність . Помітимо, що дисперсія залежить від часу

Тому

.

Т.к. дисперсія – не константа (), процес випадкового блукання (не є стаціонарним) нестаціонарні. Більше того, при , дисперсія також прагнути до нескінченності.

Отже, випадкове блукання «ізвивається», «бродить» без якої-небудь явної тенденції до збільшення (росту) або зниженню.

Цікаво розглядати коваріациею між і . Тому що середнє значення - константа, можна записати:

Таким чином, коефіцієнт кореляції дорівнює:

(2)

Цей результат відіграє важливу роль у дослідженні нестаціонарних рядів.

Для невеликих значень приблизно дорівнює 1. У міру збільшення S значення повільно зменшується, отже, у вибіркових даних, автокореляційна функція процесу випадкового блукання має слабку тенденцію до загасання.

Таким чином, неможливо використовувати автокореляційну функцію для диференціації процесів з одиничним коренем () і процесів, у яких близько до одиниці.