Основные операции над матрицами

Матрица и определение ее размера

Матрицей размера n×m называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из n строк и m столбцов, заполненная числами.

Матрица обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавитв. Матрица, содержащая n строк и m столбцов, называется матрицей размера n×m. При необходимости размер матрицы записывается следующим образом: A_n×m.

 

Квадратная и диагональная матрица

Квадратной матрицей называется матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов (размера n×n), число n называется порядком матрицы.

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

 

Единичная и нулевая матрица

Единичной матрицей называется диагональная матрица, диагональные элементы которой равны 1.

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю, т.е. a_ij = 0

 

Основные операции над матрицами

Сложение матриц (сумма матриц) A + B есть операция вычисления матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: с_ij = a_ij + b_ij

Вычитание матриц (разность матриц) A - B есть операция вычисления матрицы C, все элементы которой равны попарной разности всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: с_ij = a_ij - b_ij

Произведением матрицы A на число k называется матрица B = k · A того же размера, полученная из исходной умножением на заданное число всех ее элементов: b_i,j = k · a_i,j. Свойства умножения матрицы на число: 1 · A = A; 0 · A = Θ, где Θ; k · (A + B) = k · A + k · B; (k + n) · A = k · A + n · A; (k · n) · A = k · (n · A).

Результатом умножения матриц A_m×n и B_n×k будет матрица C_m×k такая, что элемент матрицы C, стоящий в i-той строке и j-том столбце (c_ij), равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B: c_ij = a_i1 · b_1j + a_i2 · b_2j +... + a_in · b_nj. Две матрицы можно перемножить между собой тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

 

5. Какие матрицы можно складывать, транспонировать, умножать на число, умножать?

Можно: складывать – матрицы одинаковых размеров; умножать на число – все; умножать – если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй; транспонировать – все.