Метод Рунге - Кутта.
Является наиболее популярным из одношаговых методов. Пусть y (t) - решение дифференциального уравнения y' = f (t,y), удовлетворяющее условию y (tn) = yn. Из формулы Ньютона - Лейбница
Если интеграл в формуле (6) можно было вычислить точно, то получилось бы простое выражение. Однако, в действительности это невозможно, поэтому будем строить приближенную формулу, заменив интеграл квадратурной суммой. Введем на отрезке [tn,tn+1] m вспомогательных узлов
Заменяя, входящий в равенство (6) интеграл квадратурной суммой с узлами tn(1),...,tn(m), получим приближенное равенство:
Однако воспользоваться равенством (7) нельзя, т.к. значения y в т.
Заменяя в этом равенстве для каждого i входящий в него интеграл соответствующей квадратурной формулой с узлами tn(1), tn (2),..., tn(i-1), получим приближенные равенства:
позволяющие последовательно вычислить приближения k y(tn(2)),..., y(tn(m)). Обозначим через yn(i) вспомогательные величины, являющиеся приближениями k y(tn(i)). Пусть kn(i) = f (tn(i), yn(i)) - приближение к значению углового коэффициента k в точке tn(i). В этом случае расчетные формулы примут вид:
Если выбросить вспомогательные величины yn(i), то те же формулы можно записать в виде:
Полученный метод носит название m - этапного метода Рунге - Кутта. Выбор конкретных значений параметров Метод Рунге - Кутта четвертого порядка точности:
|
следует: 
(6)
где 
(7)
неизвестны. Чтобы найти их запишем:
(8)
осущ. исходя из различных соображений, одним из кот. м. б. желание сделать порядок аппроксимации максимально возможным.
