Метод Рунге - Кутта.

Является наиболее популярным из одношаговых методов. Пусть y (t) - решение дифференциального уравнения y' = f (t,y), удовлетворяющее условию y (t_n) = y_n. Из формулы Ньютона - Лейбница

следует: (6)

Если интеграл в формуле (6) можно было вычислить точно, то получилось бы простое выражение. Однако, в действительности это невозможно, поэтому будем строить приближенную формулу, заменив интеграл квадратурной суммой. Введем на отрезке [t_n,t_n+1] m вспомогательных узлов

где

Заменяя, входящий в равенство (6) интеграл квадратурной суммой с узлами t_n⁽¹⁾,...,t_n^(m), получим приближенное равенство:

(7)

Однако воспользоваться равенством (7) нельзя, т.к. значения y в т. неизвестны. Чтобы найти их запишем:

(8)

Заменяя в этом равенстве для каждого i входящий в него интеграл соответствующей квадратурной формулой с узлами t_n⁽¹⁾, t_n ⁽²⁾,..., t_n^(i-1), получим приближенные равенства:

позволяющие последовательно вычислить приближения k y(t_n⁽²⁾),..., y(t_n^(m)). Обозначим через y_n⁽ⁱ⁾ вспомогательные величины, являющиеся приближениями k y(t_n⁽ⁱ⁾). Пусть k_n⁽ⁱ⁾ = f (t_n⁽ⁱ⁾, y_n⁽ⁱ⁾) - приближение к значению углового коэффициента k в точке t_n⁽ⁱ⁾. В этом случае расчетные формулы примут вид:

Если выбросить вспомогательные величины y_n⁽ⁱ⁾, то те же формулы можно записать в виде:

Полученный метод носит название m - этапного метода Рунге - Кутта.

Выбор конкретных значений параметров осущ. исходя из различных соображений, одним из кот. м. б. желание сделать порядок аппроксимации максимально возможным.

Метод Рунге - Кутта четвертого порядка точности: