Метод конечных разностей

Одним из широко распространенных методов реш. задачи (1) с ограничением (2) явл. метод конечных разностей. В этом методе область непрерывного аргумента заменяет конечным множеством точек (сеткой). После этого вместо ф-ии непрерывного арг. рассмотренные вводится ф-ия, определяющаяся только в узлах сетки (сеточная ф-ия). В этом случае произвед. м. б заменены своими разностными аналогами, т. е приближенно численными выражениями. В итоге исходная краевая задача заменяется дискретной краевой задачей или разностной схемой, представляющей собой сист. линейных и нелинейных алгебраич. ур., реш. кот. приблизительно принимает за реш. исходной задачи.

Зададим k(x)=1. В этом сл-е исх. задача примет вид. -U''(x)+q(x)U(x)=f(x) (3)

U(a)=Ua, U(b)=Ub (4)

Заменим отрезок [a; b] непрерывного арг. Х сеткой, кот. обозначим . где х₀=а, х_n=b

∂^h – граница отрезка.

В результате реш. задачи 3 после подмены непрерывной ф-ии U(x) сеточной ф-ей будет найдена сеточная ф-я U^h, такая, что

В результате диф. ур. (3) заменяется следующим:

Будем считать, что ф-ия U^h во всех узлах сетки W^h удовлетворяет ур. (5). В этом случае ур. (5) явл. разностным ур. аппроксимации краевой задачи (1) с ограничением (2), фактически явл. системой линейной алгебры уравнений. Преобразуем ур. (5): -U_i-1 +U_i(2+h²q_i)-U_i+1=h²f_i.

U₀=U_a

U_n=U_b

Полученную систему удобно реш. методом прогонки. М-д прогонки предназначен для реш. трёх диагональных матриц:

Прямой ход заключается в расчёте прогоночных коэф. α и β. На обратном ходе выч. знач. неизвестной ф-ии.

Значения ф-ии U_i выч. на обратном ходе: U_n=β_n U_i=α_iU_i+1+β_i,