Распределение Максвелла. Вывод

 

Из предположения о хаотическом характере молекулярного движения следует, что возможно появление молекул с любой скоростью и искомое распределение будет характеризоваться непрерывной функцией. В связи с этим имеет смысл говорить не о числе молекул со строго заданной скоростью, а о числе молекул dn (), имеющих скорость в некотором элементе объема пространства скоростей:

 

– (82.1)

 

и о распределении вероятностей dw (). Очевидно, эта вероятность нормирована на единицу:

 

. (82.2)

 

Поскольку распределение молекул по скоростям непрерывное, то можно ввести плотность вероятности g () так, что

dw () = g () d , (82.3)

 

где d = dv_x dv_y dv_z – элемент объема пространства скоростей в декартовых координатах. Из принципа равноправности направлений движения следует, что плотность вероятности не зависит от угловых переменных, указывающих направление вектора скорости, а должна быть лишь функцией его модуля:

 

g () º g (v). (82.4)

Аналогично можно ввести вероятность того, что молекула имеет компоненту скорости v _x в дифференциально малом интервале v _x¸ v _x+ dv _x:

 

dw (v _x) = dn (v _x) / n = f (v _x) dv _x, x = x, y, z, (82.5)

 

где, в силу хаотичности молекулярного движения, каждая из плотностей вероятностей зависит только от "своей" компоненты скорости и не зависит от других; больше того, вид этих функций распределения один и тот же независимо от выбора аргумента v_x, v_y или v_z. Молекула имеет случайные значения трех компонент скорости. Обладание тем или иным значением одной компоненты скорости никак не зависит от величины других компонент. В соответствии с теоремой умножения вероятностей для независимых событий

 

dw () = dw (v_x) dw (v_y) dw (v_z). (82.6)

 

Здесь под событием подразумевается обнаружение определенного значения одной из компонент скорости. Для плотностей вероятностей из (82.6) получается соотношение

 

(82.7)

 

Логарифмирование и последующее дифференцирование (82.7) по v _x дает равенство

 

. (82.8)

 

С учетом соотношения между компонентами и величиной скорости

 

(82.9)

 

уравнение (82.8) может быть представлено в виде

 

(82.10)

где a – константа, так как функции различных аргументов могут совпадать друг с другом во всей области их определения, если только они все равны одной и той же постоянной. Интегрирование уравнения (82.10) дает вид функций g (v) и f (v _x):

 

. (82.11)

 

Между постоянными интегрирования Z и Z ₀, согласно соотношению (82.7), существует простая связь

Z = Z ₀³. (82.12)

 

Постоянная Z ₀ может быть найдена, если воспользоваться условием нормировки (82.2):

 

. (82.13)

 

Разумеется, величина скорости и любая ее компонента ограничены скоростью света. Однако интегрирование в условии (82.13) можно распространить до бесконечности, если температура газа не слишком высока. При достижимых в земных условиях температурах доля быстрых молекул очень мала и вклад их в интеграл мал. Из условия нормировки (82.13) следует, что

 

. (82.14)

 

Это так называемый интеграл Пуассона. Окончательно

 

(82.15)

 

. (82.16)

 

Относительно параметра a можно сказать только, что он положительный. Это уже использовалось для удовлетворения условиям нормировки.

Таким образом, предположение о статистической независимости движения в разных направлениях позволило найти распределение молекул по скоростям. Однако, сколько бы правдоподобной эта гипотеза ни казалась, она нуждается в экспериментальной проверке, в установлении границ ее применимости. Очевидно, что полученное распределение нельзя использовать при релятивистских скоростях. Если одна из компонент скорости равна скорости света, то две другие равны нулю: значение одной компоненты скорости зависит от величины двух других компонент. Идея о статистической независимости движения молекул по разным направлениям справедлива только для обычных нерелятивистских газов.