Сила зависит от расстояния

Задача 4. Пренебрегая трением и сопротивлением воздуха, определить, в течение какого промежутка времени тело пройдет по прорытому сквозь Землю вдоль хорды АВканалу от его начала А до конца В (рис.4). При подсчете считать радиус Земли R=6370 км.

Рис. 4

Указание. В теории притяжения доказывается, что тело, находящееся внутри Земли, притягивается к ее центру с силой F, прямо пропорциональной расстоянию r до этого центра. Принимая во внимание, что при r=R (т. е. на поверхности Земли) сила F равна весу тела (F=mg),

мы получим, что внутри Земли

где r=МС - расстояние от точки Мдо центра Земли.

 

Рис.4

Решение. Поместим начало отсчета О всередине хорды АВ(в этой точке тело, находящееся в канале, было бы в равновесии) и направим ось Ох вдоль линии ОА. Если обозначить длину хорды АВ через 2а, то начальные условия задачи будут: при t=0, х=а, v_x=0.

Рис.4

В произвольном положении на тело действуют силы F и N. Следовательно,

так как из чертежа видно, что r cosα =x.

Действующая сила оказалась зависящей от координаты х точки М. Чтобы в этом случае в дифференциальном уравнении движения разделились переменные, учтем, что

.

Тогда, сокращая на m и вводя обозначение , получим:

.

Умножая обе части этого равенства на dx,мы сразу разделяем переменные и, интегрируя, находим:

.

По начальным условиям при х=а, v_x=0,следовательно, . Подставляя это значение, найдем:

.

Считая, что в рассматриваемом положении скорость направлена от М к О, т. е. v_x<0, берем перед корнем знак минус (легко, однако, проверить, что тот же окончательный результат получится и при знаке

плюс). Тогда, заменяя v_x= ,имеем:

.

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

Подставляя сюда начальные данные (при t=0, х=а ), находим, что С₂=0. Окончательно закон движения тела в канале будет иметь вид

.

Следовательно, тело будет совершать в канале АВгармонические колебания с амплитудой а.

Найдем теперь время t₁, движения тела до конца Вканала; в точке В координата х=а. Подставляя это значение в уравнение движения, получим cos kt_t= -1, откуда kt₁=π и t_t = , учитывая введенное обозначение и произведя подсчет, находим, что время движения по каналу АВ при условиях задачи не зависит от его длины и всегда равно

Этот очень интересный результат породил ряд (пока еще фантастических) проектов прорытия такого канала.

Найдем дополнительно, чему будет равна при движении максимальная скорость тела. Из выражения для v_xвидно, что v = v_maxпри x=0, т. е. в точке О. По величине

Если, например, 2а=0,1, R=637 км(приблизительно расстояние от Москвы до Ленинграда), то v_max=395 м/с = 1422 км/ч.