Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Сила зависит от расстояния




Задача 4. Пренебрегая трением и сопротивлением воздуха, определить, в течение какого промежутка времени тело пройдет по прорытому сквозь Землю вдоль хорды АВканалу от его начала А до конца В (рис.4). При подсчете считать радиус Земли R=6370 км.

Рис. 4
Указание. В теории притяжения доказывается, что тело, находящееся внутри Земли, притягивается к ее центру с силой F, прямо пропорциональной расстоянию r до этого центра. Принимая во внимание, что при r=R (т. е. на поверхности Земли) сила F равна весу тела (F=mg),

мы получим, что внутри Земли

где r=МС - расстояние от точки Мдо центра Земли.

 

Рис.4
Решение. Поместим начало отсчета О всередине хорды АВ(в этой точке тело, находящееся в канале, было бы в равновесии) и направим ось Ох вдоль линии ОА. Если обозначить длину хорды АВ через 2а, то начальные условия задачи будут: при t=0, х=а, vx=0.

Рис.4
В произвольном положении на тело действуют силы F и N. Следовательно,

так как из чертежа видно, что r cosα =x.

Действующая сила оказалась зависящей от координаты х точки М. Чтобы в этом случае в дифференциальном уравнении движения разделились переменные, учтем, что

.

Тогда, сокращая на m и вводя обозначение , получим:

.

Умножая обе части этого равенства на dx,мы сразу разделяем переменные и, интегрируя, находим:

.

По начальным условиям при х=а, vx=0,следовательно, . Подставляя это значение, найдем:

.

Считая, что в рассматриваемом положении скорость направлена от М к О, т. е. vx<0, берем перед корнем знак минус (легко, однако, проверить, что тот же окончательный результат получится и при знаке

плюс). Тогда, заменяя vx= ,имеем:

.

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

Подставляя сюда начальные данные (при t=0, х=а), находим, что С2=0. Окончательно закон движения тела в канале будет иметь вид

.

Следовательно, тело будет совершать в канале АВгармонические колебания с амплитудой а.

Найдем теперь время t1, движения тела до конца Вканала; в точке В координата х=а. Подставляя это значение в уравнение движения, получим cos ktt= -1, откуда kt1=π и tt = , учитывая введенное обозначение и произведя подсчет, находим, что время движения по каналу АВ при условиях задачи не зависит от его длины и всегда равно

Этот очень интересный результат породил ряд (пока еще фантастических) проектов прорытия такого канала.

Найдем дополнительно, чему будет равна при движении максимальная скорость тела. Из выражения для vxвидно, что v = vmaxпри x=0, т. е. в точке О. По величине

Если, например, 2а=0,1, R=637 км(приблизительно расстояние от Москвы до Ленинграда), то vmax=395 м/с = 1422 км/ч.

 


Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой





Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 449. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.016 сек.) русская версия | украинская версия
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7