Сила зависит от скорости

Задача 5. Лодку, масса которой m=40 кг, толкают, сообщая ей начальную скорость v₀ = 0,5 м/с. Считая силу сопротивления воды при малых скоростях пропорциональной первой степени скорости и изменяющейся по закону R=μv, где коэффициент μ=9,1 кг/с, определить, через сколько времени скорость лодки уменьшится вдвое и какой она за это время пройдет путь. Найти также, какой путь пройдет лодка до полной остановки.

Решение. Совместим начало отсчета Ос начальным положением лодки и направим ось Охв сторону движения (рис. 5). Тогда начальные условия будут: при t =0, x =0, v_x=v₀.

Рис.5

Изображаем в произвольном положении лодку и действующие на нее силы Р, N и R.

Для определения времени движения составляем дифференциальное уравнение (7), проектируя все действующие силы на ось Ох. Замечая, что в данном случае v_x=v, будем иметь:

.

Проинтегрируем это уравнение, беря от обеих его частей после разделения переменных соответствующие определенные интегралы. При этом нижним пределом каждого из интегралов будет значение переменного интегрирования в начальный момент, а верхним - значение того же переменного в произвольный момент времени. Тогда, учитывая, что по условиям данной задачи при t=0, v=v_0, получим:

или

Отсюда окончательно

(10)

Искомое время t₁определим, полагая v=0,5v₀. Это время, как видим, не зависит в данном случае от величины v₀. Так как In 2 = 0,69, то

 

Для определения пройденного пути целесообразнее вновь составить дифференциальное уравнение движения, так как это уравнение позволяет сразу установить зависимость между xи v). Тогда получим:

Отсюда, сокращая на v, разделяя переменные и учитывая, что при x=0, v=v₀, будем иметь:

или

Следовательно, (11)

Полагая v=0,5v ₀, найдем искомый путь: м.

Чтобы найти путь, пройденный лодкой до остановки, следует в равенстве (11) положить v=0. Тогда получим, что м.

Определяя время движения до остановки, мы из равенства (10) найдем, что при v=0 время t₂= . Это означает, что при принятом законе сопротивления (R=μv) лодка будет к своему конечному положению (определяемому координатой x₂) приближаться асимптотически. Фактически же время движения лодки до остановки будет конечным, так как с уменьшением скорости закон сопротивления становится другим и соответственно изменяется вид зависимости v от t.